李群、黎曼几何与纤维丛初探
现代微分几何的基本概念

微分形式与同调论浅析

Chern posted @ 2014年9月23日 10:46 in 数学物理 , 12656 阅读

原文于2012-5-8 09:39 发表于繁星客栈,因繁星客栈瘫痪,故转载至此处。

据说科大本科生就学过群论和场论了,前两天殷义豪学长又推荐了一本写给本科生的弦论教材。那么,本科生可不可以学同调论呢?在这篇文章里,我们就来进行这种尝试。为了易于理解,请允许我以物理学家们的直观风格来阐述这极其抽象晦涩的数学理论。当然,虽然本文不需要很深数学基础,但如果你对四大力学、张量和群论的一点入门知识都不了解的话,文中某些论述也可能让你感到莫名其妙。所以建议你先读读我以前的拙作《漫谈抽象代数》和《现代微分几何的基本概念》。

你可能读过我的《漫谈抽象代数》或《现代微分几何的基本概念》,学过或自学过点集拓扑,但我还是想强调一下。现代数学是一种结构数学。现代物理中的数学方法是从(可微)流形开始的,而流形是从拓扑空间开始的,拓扑空间又是从集合论开始的。我们在集合上进行不同的运算,就构造了不同的空间。例如,引入加法和数乘,就定义了线性(矢量)空间,引入内积运算就定义了度量空间。事实上,我们也可以不引入距离的概念,只类比开区间的概念由邻域来定义开集,通过一个点集的每个开邻域都与n维欧式空间同胚(连续的一一映射)来定义流形。集合是静态的,但映射是动态的,所以集合上就可以有导数与微分这些与运动相关的概念。例如U与V交集中的点P经f与g分别映射为x与y,则取f的逆映射将x映回P,再映到y就给出y与x的函数关系,于是可以求y对x的导数(这就是映射的微分)。流形的可微性使得我们能够赋予它大量的结构,如微分形式、李导数(关键是构造一种拉回映射)、张量(纤维丛、联络)等。本文主要讨论微分形式,关于丛上的群结构和联络结构的讨论留到下一篇日志。好了,闲话少说,让我们进入正题。什么是同调,它与物理学什么关系呢?为了从认识论的深度说清楚这个问题,我们需要一些预备知识。

一、微分形式的基本概念

1.对偶空间

如前所述,对加法和数乘运算封闭的集合即为向量空间,我们用V表示。V的对偶空间V*是向量空间V上的线性函数构成的集合(用α,β,γ,…表示这些函数),V*中的元素称为对偶向量(或线性微分式)。函数α在u上值用αu表示。V*中的元素满足左分配律α(u+v)=αu+αv,α(cu)=c(αu)和右分配律(α+β)u=αu+βu,(cα)u=c(αu),即对于α和u都是线性的,即定义了一个双线性映射。在V中,[tex]u = x^i e_i [/tex];在V*中,[tex]\alpha  = \eta _i \varepsilon ^i [/tex],且[tex]\varepsilon ^i e_j  = \delta _j^i [/tex],故α为u的对偶向量,[tex]\varepsilon ^i [/tex]为[tex]e_j [/tex]的对偶基向量(也称具有上标的[tex]\varepsilon ^i [/tex]为逆变基向量,具有下标的[tex]e_j [/tex]为协变基向量)。

2.格拉斯曼代数

一个代数,是指这样的一个集合A,在这个集合中可有三种运算:数乘、加法、乘法。A在前两种运算下是一个向量空间,在后两种运算下是一个环。格拉斯曼代数G(V)是由V构造的:对V中任意x,y,定义x∧y=-y∧x,x∧x=0称楔形积∧为外积(对两个向量而言,外积即为矢量叉积),则对于V中一组基1,[tex]e_1[/tex] ,[tex]e_2[/tex] ,…,[tex]e_n[/tex] ,由1可张成1维子空间[tex]\Lambda ^0 [/tex],由[tex]e_i [/tex]可张成n维子空间[tex]\Lambda ^1[/tex],由[tex]e_{i_1 }  \wedge e_{i_2 } [/tex]可张成[tex]C_n^2 [/tex]维子空间[tex]\Lambda ^2[/tex],…,由[tex]e_{i_1 }  \wedge e_{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge e_{i_p } [/tex]张成[tex]C_n^p  = \frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}[/tex]维子空间[tex]\Lambda ^p[/tex],由[tex]e_1  \wedge e_2  \wedge  \cdots  \wedge e_n [/tex]张成1维子空间[tex]\Lambda ^n[/tex],这些子空间的直和
[tex]G(V) = \sum\limits_{p = 0}^n { \oplus \Lambda ^p (V)}  = \Lambda ^0  \oplus \Lambda ^1  \oplus  \cdots  \oplus \Lambda ^n[/tex]

为[tex]C_n^0  + C_n^1  +  \cdots  + C_n^n  = 2^n [/tex]维向量空间,称为外向量空间或向量空间V的格拉斯曼代数,其中[tex]\Lambda ^p (V)[/tex]为生成此外代数的一组基。

类似地,对于对偶空间V*也有外代数[tex]G(V*) = \sum\limits_{p = 0}^n { \oplus \Lambda ^p (V*)} [/tex] .特别有意义的是,它的子空间的元素[tex]{\Lambda ^p (V*)}[/tex]称为向量空间V上的p次外微分形式,它是V上的反对称p重线性函数。

3.流形上的微分形式

设M为n维(无穷阶可微)流形,x为M上一点,U为M上点x的坐标邻域,Tx为点x处M的切向量空间,Tx*为Tx的对偶空间(或称余切空间)。对U中任意一点x,在余切空间中构造一个元素[tex]\omega  = a_i dx^i [/tex],它是一个从x到ω(x)的映射,称ω为1次微分形式。为了得到更高次微分形式,我们利用格拉斯曼代数。令Vx=Tx*,

则[tex]G(T_x^ *  ) = \Lambda _x^0  \oplus \Lambda _x^1  \oplus  \cdots  \oplus \Lambda _x^n[/tex]

其中[tex]\Lambda _x^0 [/tex]是一维实矢量空间,[tex]\Lambda _x^1[/tex]是元素为[tex]a_i dx^i [/tex]的向量空间(以[tex]dx^i [/tex]为基),[tex]\Lambda _x^2[/tex]是元素为[tex]\sum\limits_{i_1  < i_2 } {a_{i_1 i_2 } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 } } [/tex]的向量空间([tex]{dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 } }[/tex]为基),[tex]\Lambda _x^p[/tex]是以[tex]{dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } }[/tex]为基,
[tex]\sum\limits_{i_1  <  \cdots  < i_p } {a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } } [/tex]为元素的[tex]C_n^p  = \frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}[/tex]维向量空间,
[tex]\Lambda _x^n[/tex]是以[tex]dx^1  \wedge dx^2  \wedge  \cdots  \wedge dx^n [/tex]为基的一维向量空间。

综上所述,M上的p次微分形式[tex]\omega ^p [/tex]是M上的一个映射,它将M上任一点x映成[tex]\Lambda _x^p[/tex]中的一个元素,即
[tex]\omega ^p :x \to \omega ^p (x) = a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } [/tex]
我们把该p次微分形式的全体的集合记为[tex]F^p (M)[/tex]

4.霍奇星算子

为讨论对偶微分式,引入*算子作为一对向量空间[tex]\Lambda ^p (M)[/tex]和[tex]\Lambda ^{n - p} (M)[/tex]之间的线性变换,即

 [tex]* :\Lambda ^p (M) \to \Lambda ^{n - p} (M)[/tex],p=0,1,2,…,n.在规范意义下,该映射诱导出微分形式之间有同样的映射[tex]* :F^p (M) \to F^{n - p} (M)[/tex].

设[tex]\omega  = \sum {a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } } [/tex]
则[tex]* \omega  = \sum {\eta _{i_1 i_2  \cdots i_p j_1 j_2  \cdots j_{n - p} } a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{j_1 }  \wedge dx^{j_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{j_{n - p} } }
[/tex]

例如[tex]df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^1  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^2  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^3[/tex]

经*运算后[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}[/tex]不变,[tex]dx^i [/tex]变成[tex]\eta _{ijk} dx^j  \wedge dx^k[/tex] ,于是有

 [tex]* df = \eta _{123} \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^2  \wedge dx^3  + \eta _{213} \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^1  \wedge dx^3  + \eta _{312} \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^1  \wedge dx^2 [/tex]
由于[tex]\eta _{123}  = \eta _{312}  = 1[/tex],[tex]\eta _{213}  =  - 1[/tex],[tex]dx^1  \wedge dx^3  =  - dx^3  \wedge dx^1[/tex] ,故上式简化为
 [tex]* df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^2  \wedge dx^3  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^3  \wedge dx^1  + \eta _{312} \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^1  \wedge dx^2[/tex]

5.微分形式的外微分

设有一零次微分形式[tex]f \in F^0 (M)[/tex],令[tex]X = \sum\limits_{i = 1}^n {x^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}} [/tex]为切向量空间Tx(M)中的一个向量,则
[tex]df(X) = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}dx^i  \cdot x^j \frac{\partial }{{\partial x^j }} = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}x^j \delta _j^i  = x^i \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }} = X(f)[/tex]
这表明,d作为一个微分算子是从[tex]F^0[/tex] 到[tex]F^1[/tex]的映射。相应地,可定义[tex]d:F^p (M) \to F^{p + 1} (M)[/tex]为由p次微分形式的空间到p+1次微分形式的空间的映射,称为微分形式的外微分,它将p次微分形式
[tex]\omega  = \sum\limits_{i_1  <  \cdots  < i_p } {a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } }[/tex]

变成
[tex]\begin{array}{l}
 d\omega  = \sum\limits_{i_1  <  \cdots  < i_p } {da_{i_1 i_2  \cdots i_p }  \wedge dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } }  \\
  + ( - 1)^0 a_{i_1 i_2  \cdots i_p } d(dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } ) \\
 \end{array}[/tex]
经过p次交换d算子的位置,可以由证明上式第二项为零(p个零之和),于是有
[tex]d\omega  = \sum {\frac{{\partial a_{i_1 i_2  \cdots i_p } }}{{\partial x^j }}dx^j  \wedge dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } } [/tex]

[tex]d^2 \omega  = d \circ d\omega  = \frac{{\partial ^2 a_{i_1 i_2  \cdots i_p } }}{{\partial x^j \partial x^k }}dx^k  \wedge dx^j  \wedge dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } [/tex]
交换指标k和j,由于[tex]dx^k  \wedge dx^j  =  - dx^j  \wedge dx^k [/tex],于是[tex]d^2 \omega  =  - d^2 \omega[/tex] ,故
[tex]d^2 \omega  = d \circ d\omega  = 0[/tex]

6.梯度、旋度、散度、拉普拉斯算子

(1)grad f=▽f=dfº,即零次微分形式的一次外微分运算即为标量函数的梯度。

(2)设[tex]\omega ^1  = a_i dx^i  = A [/tex],

 [tex]d(a_1 dx^1  + a_2 dx^2  + a_3 dx^3 )[/tex]
[tex]= (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^1 }}dx^1  \wedge dx^1  + \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }}dx^2  \wedge dx^1  + \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }}dx^3  \wedge dx^1 ) [/tex]

[tex]+ (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }}dx^1  \wedge dx^2  + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^2 }}dx^2  \wedge dx^2  + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }}dx^3  \wedge dx^2 ) [/tex]

[tex]+ (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }}dx^1  \wedge dx^3  + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }}dx^2  \wedge dx^3  + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^3 }}dx^3  \wedge dx^3 ) [/tex]
由于[tex]dx^1  \wedge dx^1  = dx^2  \wedge dx^2  = dx^3  \wedge dx^3  = 0[/tex],
[tex]dx^2  \wedge dx^1  =  - dx^1  \wedge dx^2 [/tex],[tex]dx^3  \wedge dx^2  =  - dx^2  \wedge dx^3 [/tex],
[tex]dx^1  \wedge dx^3  =  - dx^3  \wedge dx^1[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
 d\omega  = (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }} - \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }})dx^1  \wedge dx^2  \\
  + (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }} - \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }})dx^2  \wedge dx^3  + (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }} - \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }})dx^3  \wedge dx^1  \\
 \end{array}[/tex]

由于[tex] * (dx^2  \wedge dx^3 ) = \eta _{231} dx^1[/tex] ,[tex]* (dx^3  \wedge dx^1 ) = \eta _{312} dx^2[/tex] ,[tex]* (dx^1  \wedge dx^2 ) = \eta _{123} dx^3 [/tex],故
[tex] * d\omega  = (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }} - \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }})dx^3  + (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }} - \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }})dx^1  + (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }} - \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }})dx^2 [/tex]

这和旋度的表达式一摸一样,故*dA=▽×A=rotA
(3)仍设[tex]\omega ^1  = a_1 dx^1  + a_2 dx^2  + a_3 dx^3 [/tex],同理可得
 [tex]* d * \omega ^1  = \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^1 }} + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^3 }} = \nabla  \cdot A = divA[/tex]

(4)给定一个球坐标下的零次微分式f=f(r,θ,φ),在弯曲时空中作一次外微分运算,得
[tex]df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dr + \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}d\theta  + \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}d\varphi [/tex]
为了进行*运算,需要变换到平直空间:[tex]dx^1  = dr[/tex],[tex]dx^2  = rd\theta[/tex] ,[tex]dx^3  = r\sin \theta d\varphi [/tex],于是
[tex]df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dx^1  + \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}dx^2  + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dx^3 [/tex]
现在,作一次*运算,得
[tex] * df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dx^2  \wedge dx^3  + \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}dx^3  \wedge dx^1  + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dx^1  \wedge dx^2 [/tex]
为了进行外微分运算,需要变换到弯曲空间:
 [tex]* df = r^2 \sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial r}}d\theta  \wedge d\varphi  + \sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}d\varphi  \wedge dr + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dr \wedge d\theta [/tex]
现在,作一次外微分运算,得
[tex]d * df = \sin \theta \frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}})dr \wedge d\theta  \wedge d\varphi [/tex]

[tex] + \frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }})d\theta  \wedge d\varphi  \wedge dr + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}d\varphi  \wedge dr \wedge d\theta [/tex]

为了进行*运算,再变换到平直空间,得
[tex]\begin{array}{l}
 d * df = [\frac{1}{{r^2 }}\frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}}) + \frac{1}{{r^2 \sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}) \\
  + \frac{1}{{r^2 \sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}]dx^1  \wedge dx^2  \wedge dx^3  \\
 \end{array}[/tex]
现在,在进行一次*运算,得
[tex] * d * df = \frac{1}{{r^2 }}\frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}}) + \frac{1}{{r^2 \sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}) + \frac{1}{{r^2 \sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}[/tex]
这正是球坐标下拉普拉斯算子的表达式,故有 * d * df =▽²f=Δf
综上所述,dfº=▽f=grad f,*dA=▽×A=rotA ,*d*A=▽·A=divA, * d * df =▽²f=Δf.需要注意的是,求上述量在弯曲坐标系的表达式时,进行d运算前要变换到弯曲空间,进行*运算前要变换到平直空间。

二、同调论的基本概念

1.同伦与同调的基本思想:

设二维平面上有一个圆环,环上有三条封闭曲线l,m,n,其中l不跨过中心的洞,m包围中心的洞,n包围了m.考虑曲线积分∮pdx+qdy,这里p=p(x,y),q=q(x,y)是两个变量的连续函数,它们的偏导数连续且满足əp/əy=əq/əx.那么,沿着闭曲线l的积分为零,沿着闭曲线m和n的积分相等且不为零。拓扑学是专门研究一个物体的“洞”的情况的几何学,只管洞得有无、多少,不管大小,例如,耳洞数相同的女生在拓扑学的意义下是等价的。因为拓扑学的本意是橡皮泥几何学,橡皮泥是可以连续形变的,形变过程中不保距也不保角(这就是为什么我们前面引入拓扑空间时一再强调要暂时忽略距离等度量性质的原因),只保洞数(连续性)不变。我们称能够经过连续形变由此及彼的两个几何对象是同伦的,例如上述闭曲线m和n同伦(但都与l不同伦).实际上,圆环上任何跨过中心洞的闭曲线都能互相由此及彼,因而都是同伦的。特别地,不跨过中心洞的闭曲线经过连续形变可以收缩为一点,称之为同伦于常值道路(一条曲线就是一条道路)。为什么叫同伦?呵呵,具有相同耳洞数的女生的伦理观念可能是相同的吧。至少,有耳洞的与没耳洞的女生人生价值观不同。

那么,什么是同调呢?通俗地说,如果两条曲线共同围成一个区域的边界,就称它们是同调的。例如上述闭曲线m和n.由于中心洞的存在,m和n都没能围成一个区域(l与洞无关,自身就围成一个区域)。但m与n放在一起(严格地说,曲线是有方向的,应该说m与-n,或m-n)却围成了一个区域,所以它们共同构成一个区域的边界,即它们是同调的。

为什么叫同调?“调”本来是音乐术语,经常听说某某唱歌跑调,那就是不能和原唱所唱的调吻合。特别地,两个人一起唱歌,一个比另一个慢半拍,或比另一个低八度,那么两人一起唱出来的歌就很难听。所以,“调”需要两个人配合。那么,怎么让两条曲线配合?那就是夫唱妻随两人一起共同构成某区域的边界,如上述m与-n。特别地,世上也有奇人,一个人能唱两个调,譬如李玉刚,既能唱男声也能唱女声,所以就不需要人配合。类似地,某些曲线不需要其他曲线配合,自己就能构成一个区域的边界,例如上述曲线l.不需要任何曲线配合,那就同调于零呗。二维闭曲面可以构成三维区域的边界,一维闭曲线可以构成二维区域的边界,那么一个点(零)也可以构成一维区域(线段)的边界,那就是端点呀。

我们把一条曲线称为一条道路,所有同伦的道路构成一个集合,称为(道路)同伦类。一条道路有起点也有终点。如果像羽泉《哪一站》所唱“终点也是起点”,即一条道路的终点是另一条道路的起点时,我们不就可以从这条路走向那条路吗?真是山重水复疑无路,柳暗花明又一村啊。我们把从一条路走向另一条路称为道路的乘积(即定义一种乘法)。设由A到B再到C三条小道连成一条康庄大道,显然,走完AB歇一会再走C,与走完A就歇一会,然后一口气走完BC,结果是一样的。所以,道路的乘法满足结合律。由于任何道路P与常值闭道路l的乘积仍是P,所以常值闭道路可以看作道路的单位元。而道路不是二极管,我们也可以沿着与原来相反的方向走,并称这是逆路。不过,这里倒不用担心不进则退,因为没有水;也不用担心狭路相逢,即使千军万马过独木桥也不会掉河里。综上所述,道路满足封闭性、结合律、有单位元、逆元,所以构成一个群,称为道路的基本(同伦)群。

基本群的思想很简单,但计算上不方便。尤其到了高维同伦群,更是蜀“道”之难,难于上青天。于是,人们转入同调(群)论的研究。

如前所述,能一起构成某一区域边界的两条闭曲线是同调的,独自一人就能构成某一区域边界的闭曲线同调于零。所有同调的曲线构成一个等价类,称为同调类。那么,同调的曲线如何构成群呢?让我们来考察汽车轮胎的内胎,它是三维空间中的二维环面。在环面上有很多封闭曲线,但基本上可分成两类:经圆类m和纬圆类p(类似于地球经纬线,一类沿汽车轮子滚动方向,另一类垂直于该方向)。如果一条闭曲线既沿经圆方向环绕又沿纬圆方向环绕,则可以表示为m与p的线性组合。例如绕经圆2圈绕纬圆3圈,则表示为2m+3p.环面上任意闭曲线具有形式αm+βp(这里α、β是整数);另外同调类之间可以加减。所以,环面上全体同调类的集合构成一个群,它是具有两个生成元m,p的(自由交换)群,同构于两个整数加群的直和。类似地,双环面(两个车胎对接)是具有4个生成元m1,m2,p1,p2的自由交换群,每一同调类具有α1m1+α2m2+β1p1+β2p2.

当然,这刚刚定义了同调类。要定义同调群,还需要做进一步考察:

所有闭曲线构成一个群,称为闭路群。在这些闭路(闭曲线)中,有的自己一人就构成某区域的边界,有的不能界住任何区域,需要配合其他闭曲线一起才能构成某区域的边界。我们把那些能独自构成某区域边界的闭路称为边缘闭路。所有这些边缘闭路构成一个群,称为边缘群,它是闭路群的一个子群。既然是子群,那么就可以对它作(母群的)商群,也就是在这些闭路中除去那些边缘闭路。我们把这一商群称为同调群。

为什么要除掉那些边缘闭路呢?我们还要引入一些概念,请继续往下看。

2.曲面的多边形表示与三角剖分:

为了计算同调群,我们要化曲为直,即把用直面等价代替曲面进行讨论。

如果你看过足球烯,你就会明白,球面其实是与凸多面体同胚(连续的一一映射)的。所以,我们完全可以用多边形来表示曲面。在曲面上像经纬线那样画一个有限网络,它由有限个顶点和连接这些顶点的有限条弧组成。若它能将曲面分割成有限个同胚于圆盘的区域,我们就称该曲面能剖分成多边形。

在平面上画一些多边形,在多边形顶点上标上字母,在边上标上箭头代表方向,把相同的字母和方向相同的边粘合在一起,将得到一个曲面(特别是如果多边形分布合理的话能构成闭曲面),称为曲面的多边形表示。

给定一个曲面,它的多边形表示不止一种。不同曲面能剖分成的多边形种类不同,有些不能剖分成任意给定的一种多边形。但是,任何曲面都能剖分成三角形。所以,我们今后主要研究曲面的三角剖分。

当然,即使只采取三角剖分,剖分方式也不止一种。例如,正四面体、正八面体、正二十面体都是球面的三角剖分。但对于给定的一种曲面,存在最小的三角剖分(即用最少的三角形数,如球面的最小剖分为正四面体)。

下面,我们就来看看如何进行三角剖分。

首先,剖分要保证每个顶点和每条棱都是某个三角形的顶点和棱;每条棱都是(或至多是)两个三角形公共边;对任意两个三角形,都有一个三角形序列把它们连接起来,使得相邻两个三角形有公共边;

其次,在每个顶点标上字母,由字母的顺序诱导三角形的边及其三角形本身的方向。如果所有相邻三角形的公共边反向,则称这些三角形是协合的。如果一个曲面的三角剖分能指定协合方向,则称该曲面是可定向的。球面、环面都是可定向的,莫比乌斯带是不可定向的。

3.闭链、边缘链和同调群:

为了便于计算同调群,我们只研究一类特殊的空间,它可以看成由一小块一小块我们熟悉的空间“很好地”拼凑(或规则相处,指要么不相交,要么公共部分为它们的公共面单形)起来的,即所谓的可单纯剖分的空间。曲面是二维的,可以用三角形剖分;对高维空间,就要用相当于三角形的“高维砖块”来砌成我们的建筑物了(呵呵,建筑也是一门艺术呢,公园里平面镶嵌的设计者一定是位数学家兼艺术家)。

我们把由一点组成的图形叫做0维单(纯)形,记作σº=<v。>;闭线段称为1维单形,记作σ¹=<v0,v1>;三角形称2维单形,记作σ²=<v0,v1,v2>;四面体称3维单形,记作σ³=<v0,v1,v2,v3>…单形σ³=<v0,v1,v2,v3>的0维面(即顶点)为<v0>,<v1>,<v2>,<v3>;1维面(即棱)有<v0,v1>,<v0,v2>,<v0,v3>,<v,1,v2>,<v1,v3>,<v2,v3>;2维面有<v0,v1,v2>,<v0,v1,v3>,<v0,v2,v3>,<v1,v2,v3>.

有限个规则相处(要么不相交,要么公共部分为它们的公共面单形)的单形之和称为一个(单纯)复形,记作K.闭曲面的三角剖分称为单纯剖分。下面,我们来考虑环面的一个选定的单纯剖分K,考虑这个剖分下的定向多边形曲线,方向由顶点的字母顺序诱导,并标在多边形的棱上。若一条棱的顶点为v,w,则用<v,w>表示这条棱,方向由v到w.类似地,若u,v,w是K的一个三角形顶点,则<u,v,w>表示按顶点顺序u,v,w定向的二维单形。只要保证三角形的顶点环绕方向不变,从哪个顶点开始写没有关系。序向的改变用一个负号表示,即满足<w,v>=-<v,w> ,<v,u,w>=-<u,v,w>.定向棱<v,w>的边缘定义为ə<v,w>=<w>-<v>,定向三角形的边缘定义为ə<v,u,w>=<v,w>+<w,u>+<u,v>,即它的定向棱之和。0维单形的边缘定义为零。

任意多边形曲线可以看作其各定向棱之和,其边缘定义为其各定向棱的边缘之和。如果计算得其边缘值为零,则称该多边形曲线没有边缘,即它是闭的。

现在考虑一般情形。K的定向棱以整系数的线性组合为z=λ1<u1,v1>+…+λk<uk,vk>.如果它的边缘əz=0,我们就称z是K的一维闭链。对于K的任意两个1维闭链Σλi<ui,vi>及Σμi<ui,vi>,定义加法Σλi<ui,vi>+Σμi<ui,vi>=Σ(λi+μi)<ui,vi>,则K的全体一维闭链在这个加法下构成一个(交换)群,称为一维闭链群,记作Z1(K).如果一个闭链能找到定向三角形的一个整系数的线性组合,使得它的边缘恰是这个闭链,就称该闭链为一个边缘链。全体一维边缘链构成一维闭链的一个子群,称为一维边缘链群,记作B1(K).我们感兴趣的是包围一个洞的闭链,即非边缘的闭链。为了从闭链中除去那些边缘链,我们将闭链对边缘链作商群运算,即H1(K)=Z1(K)/B1(K),并把该商群称为一维同调群。该定义可推广到p维。

据定义,若两个闭链相差一个边缘链(如前述的闭曲线m与n),则它们是同调的。

三、微分形式与同调论的联系

1.闭形式与恰当形式:

若ω=dθ,则称ω为恰当形式;若dω=0,则称ω为闭形式。因为ddω≡0,故恰当形式一定是闭形式,这称为庞加莱引理。一般情况下,其逆命题不成立。但是可以证明,在局域单连通邻域上,闭形式也是恰当形式。

2.微分形式的积分:

在R¹中,取一闭区间[a,b]=D,将D的有向边缘记为əD=ə(a,b)=b-a,其中ə称为边缘算子。于是牛顿-莱布尼茨公式为[tex]\int_D {df}  = f(b) - f(a) = \int_{\partial D} f [/tex],该公式反映了1维体积分和(2-1)维边界上的积分的联系。

在R²中,令ω¹=Pdx+Qdy,则
[tex]d\omega ^1  = (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dx \wedge dy[/tex]

于是格林公式
[tex]\int_D {(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dxdy}  = \int_{\partial D} {Pdx + Qdy} [/tex]
即简化为[tex]\int_D {d\omega }  = \int_{\partial D} \omega [/tex] ,该公式揭示了2维体积分与(2-1)维边界上积分的联系。
在R³中,令ω¹=Pdx+Qdy+Rdz,则斯托克斯定理简化为∫∫Ddω¹=∮əDω¹

在R³中,令ω²=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy,则高斯定理简化为∫∫∫Ddω²=∮əDω²
上述四个公式可统一地写成[tex]\int_D {d\omega }  = \int_{\partial D} \omega[/tex]  ,称为广义斯托克斯公式。由此可见,采用微分形式的表述方式,不仅反映了定理本身内容,而且反映了坐标变换时表达式的协变规律。

在微分形式框架下表述的广义斯托克斯公式,可推广到n维域D上n次微分形式ω和(n-1)维边界əD上(n-1)次微分形式之间。在n维流形M中取一有界闭区域D,其定向与M一致。D的边界为əD,其定向由D诱导。只要有界区域D能被基本单纯形(点、线段、三角形、四面体等)剖分,则在D上的积分就是在用来剖分的单纯形上的积分之和。在əD上的积分就是沿每个单纯形边界的积分之和。当沿内部边界积分相加时,两次取向相反的每两个积分抵消,从而得到沿整个区域边界上的积分。

积分区域的三角剖分与前面讲的闭曲面的三角剖分完全类似,将一小块一小块区域累加起来得到等于一大圈边界上面积的思想也与拓扑学中将一毫升空气一毫升空气吹进气球得到整个气球体积的思想不谋而合,这就预示着我们可以类比闭曲面的同调理论建立微分形式的同调理论,这就是我们下面要讲的德拉姆上同调。

3.德拉姆上同调:

类似于“若两个闭链相差一个边缘,则这两个闭链是同调的”,我们可以定义微分形式的同调:若两个p次闭微分形式ω1与ω2仅仅相差一个恰当微分形式dθ,即ω1=ω2+dθ,则称这两个闭形式是同调的,记作ω1~ω2.

类似于闭曲面的同调群是闭链群对边缘链群的商群, 我们将p次闭微分形式构成的向量空间[tex]\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)[/tex]对p次恰当微分形式构成的向量空间[tex]dF^{p - 1} (M)[/tex]的(同余)商空间
[tex]{{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} {dF^{p - 1} (M)}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}[/tex]
定义为微分形式的同调群,记作
[tex]H^p (M) = {{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} {dF^{p - 1} (M)}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}[/tex]

例如,球面S²的德拉姆上同调群H¹(S²)=0,即球面上每个(1次)闭微分形式都是恰当微分形式。
类似于前面闭曲面“边缘的边缘等于零”,即ə·əD≡0,我们有d·dθ=0,即恰当微分形式dθ上同调于零,
[tex]{dF^{p - 1} (M)}[/tex]是上同调于零的若干个p次(恰当)微分形式构成的群(集合)。以元素
[tex][\mathop \omega \limits^ \circ  ] \in H^p (M)[/tex]标记闭微分形式[tex]\mathop \omega \limits^ \circ [/tex]对特指的等价关系的等价类,称为上同调类,矢量空间 [tex]H^p (M)[/tex]的维数就是线性独立的上同调类的数目。
同调类可能太抽象了,不好理解。其实,正如我在《漫谈抽象代数》一文中所讲的,我们可以在一个集合中,将具有相同属性的归为一类,不同的归为不同的类,然后,在全集中把某一类(集合的子集)除去(或说忽略掉),这就是商集合(商空间、商群也是这个意思)。最简单的例子就是同余类(余数相同的归为一类,如被3除,余数为0的归为一类,余数为1的归为一类,余数为2的归为一类)。再通俗点说,把头发颜色相同的女生归为一类。集合的概念就像家庭一样,它里面的元素就是它的家庭成员,也像人类一样吃饭时有不同的口味。假如我们把所有微分形式看成一个大家庭,这个家庭里喜欢吃面食的成员叫做闭微分形式,喜欢吃面条的成员叫做恰当微分形式,那么我们就可以蒸一锅馒头(是面食但不是面条),让喜欢吃面条的成员饿着,这就叫商群,呵呵,明白物以类聚、人以群分的道理了吧。

理解任何同调群都有个原则性的困难,那就是何为商群;理解上同调群这个特定同调群有个困难,那就是微分形式与曲面拓扑性质无关,只有到把它积分时(广义斯托克斯公式)才能找到与曲面拓扑的关系——积分区域也可以像闭曲面一样作三角剖分。

四、同调论与物理学

(1)经典力学

考察一个质点的的单一自由度运动,其相空间是二维的。再加上一维时间,就构成三维流形,其基矢选为dq,dq',dt.构造ω¹=(əT/əq')dt,θ¹=-Udq,则
[tex]d * \omega ^1  = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right)dt \wedge d\dot q \wedge dq[/tex]
[tex]d * \theta ^1  =  - \frac{{\partial U}}{{\partial q}}dq \wedge dt \wedge d\dot q[/tex]
这是M³中同一点的两个恰当微分形式,它们上同调于零,即d*ω¹=0+d*θ¹.移项,得
[tex][\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial q}}]dt \wedge d\dot q \wedge dq = 0[/tex]
微分形式基底不为零,故
[tex]\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial q}} = 0
[/tex]

注意到L=T-U,则有
[tex]\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial q}} = 0[/tex]
这就是自由质点的拉格朗日方程。

值得注意的是,就理论框架而言,我们未涉及最小作用量原理。我们输入的仅仅是动量和势的一次微分形式,然后按微分形式所遵循的规律作允许的运算,,不再输入先验的原理,就得到预期的结论。所以,用上同调来建立线性模型的动力学方程的方法具有明显的优越性——不仅简洁,还有丰富的代数和几何意义。可以断言,微分形式的上同调理论给出了所有线性动力学方程的框架。一旦有恰微分式上同调,就自然地导出一级变分为零的必然结果。

(2)热力学

由d(AdB)=-d(BdA),可得d(TdS-pdV)=d(TdS+Vdp)=0,故TdS+Vdp必为某恰当微分形式,实际上TdS+Vdp正是dH.同理可得dF,dG.

由dE=TdS-pdV,作一次外微分运算,有ddE=(əT/əV+əp/əS)dV∧dS=0,即得əT/əV+əp/əS=0,即əT/əV=-əp/əS.这就是麦克斯韦关系之一。同理,由ddH=0,ddF=0,ddG=0可得另三个麦克斯韦关系。

(3)电动力学

考虑平直的闵可夫斯基四维流形,设四维势为[tex]\omega ^1  = A_0 dx^0  + A_1 dx^1  + A_2 dx^2  + A_3 dx^3[/tex] ,
作两次外微分运算,由ddω¹=0可得
[tex]\frac{{\partial F_{\mu \upsilon } }}{{\partial x^\gamma  }} + \frac{{\partial F_{\lambda \mu } }}{{\partial x^\upsilon  }} + \frac{{\partial F_{\upsilon \lambda } }}{{\partial x^\mu  }} = 0[/tex]
此即▽·B=0和▽×E+əB/ət=0

又设四维电流密度为[tex]\gamma ^1  = j_0 dx^0  + j_1 dx^1  + j_2 dx^2  + j_3 dx^3 [/tex]

由*δω²=(-1)²d*ω²=*γ¹可得
[tex]\frac{{\partial F_{\mu \upsilon } }}{{\partial x^\upsilon  }} = j_\mu[/tex] 
此即▽·E=ρ和▽×B-əE/ət=j.
(4)量子力学/规范场论

我们可以类比上同调定义相关同调、泛同调,从而把同调论推广到非线性领域,例如杨-米尔斯方程。这方面的理论还处于研究阶段,暂不介绍。

………………………………………………………………………………………………………………………………

同调论到此为止,下面说说现代数学对现代物理学的意义。很多物理学家,尤其是实验物理学家和应用物理学家排斥数学,好像用不着演绎,自然规律都能从唯象中归纳出来似的。我想,大家都听说过“欲穷千里目,更上一层楼”吧。要想看得更远,需要站在巨人的肩膀上。纵观物理学史,几乎每一次数学形式的进步都大大地促进了物理学的发展。且不说圆锥曲线理论对发现行星运动定律的影响,且不说微积分对研究变加速、不规则和非线性问题的影响,那些都是几百年前的事了,我们且来看看近代的例子。

大家都知道爱因斯坦提出了广义相对论,但广义相对论是怎么提出的,这其中经历了多少坎坷却不是一本科普书能讲得清楚的。广义相对论的物理思想是非常简单的,但为什么老爱有了这个想法后又经历了好几年才给出引力场方程呢?不是他脑子笨,而是当时黎曼几何还不成熟,没人会想到那正是适合于描述引力的语言。爱因斯坦在建立相对论的过程中发展了黎曼几何,从这个意义上讲他也算半个数学家吧。

那么,与相对论并驾齐驱、共同构成现代物理学支柱的量子力学又如何呢?这就不能不说说经典力学的发展。为了使经典力学适用范围更广泛,拉格朗日等人将数学分析引入牛顿力学,用更广泛的能量、动量概念代替力、加速度等概念,得到分析力学。后来的发展表明,牛顿力学不适合描述高速和微观现象,而从分析力学的变分原理(最小作用量原理)出发却可以导出电动力学、量子力学、统计力学乃至全部物理学。而最小作用量原理又是微分形式上同调于零的必然结果。可见,数学形式的发展对物理学的影响是非常巨大的,数学虽是形式,但形式中蕴含了物理内容。

谈到作用量,就不得不谈一下对称性。诺特定理表明,作用量的每一个连续对称性都对应一种守恒律。例如,动量是空间平移变换的生成元,空间平移对称性就导致动量守恒;角动量是空间旋转变换的生成元,空间旋转对称性就导致角动量守恒,等等。量子力学中,很多时候并不需要具体计算某些细节,只要进行对称性分析就能简洁地得到结论。所以,对称性分析有利于量子力学的发展。那么,用什么描述对称性呢?那就是群论。例如,前面谈到的角动量,就可以用SO(3)描述。量子力学的角动量问题,就是要解SO(3)的李代数方程。

谈到对称性,还不得不谈一谈规范场。例如电磁场就是U(1)规范场,杨-米尔斯场就是SU(2)规范场。群论可以帮助我们统一基本相互作用,例如SU(2)×U(1)统一了弱相互作用和电磁相互作用。所以,群论对物理学发展具有重大意义。

谈到规范场,还不得不谈一谈纤维丛。在柱形磁场外面运动的电子为什么会发生干涉呢?因为场强为零但规范势不为零。在微分几何中,场强就是纤维丛的曲率,规范势就是纤维丛的联络。由于柱形磁场的存在,空间的拓扑性质发生了变化,由单连通变成了多连通。于是,当矢量绕行一周回到原位置时就相差了一个相因子,并且与初始状态不等价。为了描述这种现象,就要引入空间的自同构变换,这些自同构变换构成一个群,它就是联络的和乐群。

综上所述,数学形式的发展对于物理学的进一步发展是至关重要的,绝不是一种故意显酷的装B行为。

欲知如何从黎曼几何导出广义相对论,如何用李群分析量子力学,如何从纤维丛导出规范场,请听下回分解。

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slope game 说:
2018年10月31日 11:23

惊人的文章感谢分享。

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basketball legends 说:
2019年11月11日 16:00

很多时候并不需要具体计算某些细节,只要进行对称性分析就能简洁地得到结论。所以,对称性分析有利于量子力学的发展。那么,用什么描述对称性呢?那就是群论。例如,前面谈到的角动量,就可以用SO(3)描述。量子力学的角动量问题,就是要解SO(3)的李代数方程。

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enable flash in chro 说:
2020年1月15日 14:46

This is a great thing, I think everyone feels this information is very valuable, thank you

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gmail sign up 说:
2020年2月09日 22:22

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