\[
\sigma _z  =
\left(
\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0  \\
   0 & { - 1}  \\
\end{array} 
\right)
\]

\[
\left| {\psi (t)} \right\rangle  =
\left(
\begin{array}{*{20}c}
   \cos\theta  \\
   \sin\theta  \\
\end{array}
\right)
\]

\[
\left| {\psi (t)} \right\rangle  =
\left(
\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \frac{\theta }{2}}  \\
   {\sin \frac{\theta }{2}}  \\
\end{array} 
\right)
\]
 

\[
\left| {\psi (t)} \right\rangle  =
\left(
\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \frac{\theta }{2}}  \\   {\sin \frac{\theta }{2}} 
\end{array} 
\right)
\]

\[
\left| {\psi (t)} \right\rangle  = \exp (\mu Bt\sigma _z \frac{i}
{\hbar })
\]
\[
=
\left(
\begin{array}{*{20}c}
   \exp (\mu Bt\frac{i}{\hbar })\cos \frac{\theta }{2}  \\    \exp (\mu Bt\frac{i}{\hbar })\sin \frac{\theta }{2} 
\end{array}
\right)
\]

\[
\left| {\psi (t)} \right\rangle  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \frac{1}{2}} & {\sin \frac{1}{2}}  \\
   {\sin \frac{1}{2}} & {\cos \frac{1}{2}}  \\
 \end{array} } \right)
\]

\documentclass{article}
\usepackage{CJK}
\begin{document}
\begin{CJK}{GBK}{song}
\vspace*{20mm}
\centerline{现代微分几何的基本概念}

 1.从空间到流形 \\
关于“空间”的现代定义，我以前详细讨论过，可见拙作《抽象与拓展：谈谈量子力学的数学基础》
这里只简要回顾 一下。
数学上的“空间”是指从现实中抛开物理性质，作为数学研究对象的抽象的具有某种性质的点的集合，可以把空间看做定义了某种运算的集合。在此基础上，对加法和数乘运算封闭的集合便是线性空间，实数域上定义了内积的线性空间便是欧式空间，推广到复述域便是酉空间，其中内积收敛（平方可积）的便是Hillbert空间。
关于“流形”的概念，我以前简单提到过，参见拙作《漫谈抽象代数》。
现在，我们就来详细讨论流形的概念。我们要看看，空间这一概念是怎么演变成流形的。
上面提到了好几个抽象空间。它们都是线性空间。其实，我们又何必非要保证“线性”这一性质呢？数学要追求普遍性的，比如说代数吧，一个代数不仅可以是非交换的（四元数），而且可以是非结合的（八元数），也许还有非可除的。同样，我们完全可以任取一些独立参数构造非线性的点集。当然，为了保证我们能取到数域上的所有点，不论离散的整数（格点），还是连续的有理数乃至实数，我们要求该点集局部上是连续的，即任意两点间的距离能被分得任意小【连接n重实数$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的集合$R^n$  中任意两点的线段可以被无限细分，等价于 $R^n$ 中任意两点都有不相交的领域，此即 $R^n$ 的Hausdorff性质】。这样，我们就能建立它与 $R^n$的一一映射。具有这样性质的点集称为流形。例如圆 $S^1$ ，球面 $S^2$都是流形，它们局部地与 $R^n$同胚（粗略地说，同胚就是连续地一一映射）。
流形的概念是非常普遍的，能连续参数化的任意集合M都是一个流形，它的维数就是独立参量的个数。曲线的通常概念是M中的连续点列。这里允许我们下一个稍微不同的定义。使 $R^1$中的一点（它是一个实数，例如说 $\lambda$ ）对应于M中的一个点，后者称为 $\lambda$ 的象点。所有象点的集合就是通常意义下的曲线，但我们的定义是赋予每一个点一个 $\lambda$ 值。这样，我们就有了一根参数化了的曲线，其参数为$\lambda$ .
仿照微积分中可微函数的定义（如果函数f的小于及等于k阶的所有偏导数都存在，且都是域上的连续函数，则称f是 $C^k$ 类可微的。特别的，无限可微记作$C^\infty$ ），我们可以定义微分流形。流形可以是 $C^k$光滑的乃至 $C^\infty$光滑的。通俗地说，一维流形就是光滑曲线，二维流形就是光滑曲面。
在很多情况下，我们假定有一个  $C^\infty$流形。实际上这不是必需的。我们有时会遇到奇点。但许多非解析函数可以用解析函数来近似，尤其平方可积函数（这方面不再展开论述，有兴趣的读者可参见《实变函数与泛函分析》）\\

2.从切空间到切丛\\
流形的可微性质可以使我们把分析学中的导数概念与几何学中的向量概念联系起来。让我们从最简单的流形——曲线 $x^i=x^i(\lambda)$开始。考虑流形M上的可微函数$f(x^1,x^2,\cdots,x^n)$ .在曲线的每一点上，f有一个值。所以沿着此曲线就有一个可微函数$g(\lambda)=f[x^1(\lambda),x^2(\lambda),\cdots,x^n(\lambda)]$
由链式法则，得
$$
\frac{{dg}}{{d\lambda }} = \sum\limits_i {\frac{{dx^i }}{{d\lambda }}\frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}}
$$
这对任意函数g都成立，故有
$$
\frac{d}{{d\lambda }} = \sum\limits_i {\frac{{dx^i }}{{d\lambda }}\frac{\partial }{{\partial x^i }}}
$$
我们知道， ${dx^i}$ 是曲线的无穷小位移，把它们除以$d\lambda$ 后，只改变其数值，不改变其方向，它就是曲线的切向量。由于$\frac{d}{d\lambda} $是线性无关的 $\frac{\partial}{\partial x^i}$的线性组合，因此 $\frac{\partial}{\partial x^i}$是空间$\frac{d}{d\lambda} $ 的一组基。它是普通向量空间
$$
d\vec r = du^m \frac{{\partial \vec r}}{{\partial u^m }}
$$
的基矢
$$
e_m  = \frac{{\partial \vec r}}{{\partial u^m }}
$$
的推广。
空间M中任意一点P的所有切向量的集合称作P点的切空间，记作$T_p(M)$ 。下面，我们就来看看这一概念是如何过渡地引出纤维丛概念的。
把流形M与它所有的切空间  $T_p$结合在一起，便得到一个特别有趣的流形。如图1，一个一维流形M（一根曲线）及其切空间（在一点与曲线相切的直线）。
 图1
如果将切线延展，各点的切线将相交，图将是一团糟的。
一个更好的办法是下图的办法如图2（附件），平行地画出各切空间，它们彼此并不相交，而且它们仅在定义它们的那一点处越过M。
 图2
但不幸的是，这种图形不能表示出每个$T_p$ “相切”于曲线这一事实。但是要清晰就得付出这一代价。
图中，铅垂线 $T_p$上的每一点表示一个向量，具有“长度”，且在P点与M相切。M与 $T_p$定义了一个新的流形TM，它包括在所有点的所有向量，因此它是二维的。这个二维流形TM就称为切（纤维）丛，其中流形M称为底空间，切空间 $T_p$称为纤维。“纤维”一词正是源于图2中的画法。
图3用虚线画的（纤维丛中的）一根曲线在M的每一点给出了一个特定的向量。
 图3
因此，此曲线定义了M上的一个向量场。这样的一根曲线（即处处不平行于纤维的一根曲线）称为切丛TM的一个截面。
一般的纤维丛由一个底流形（例如前面的曲线M）和依附在底流形的每一点的一根纤维所组成。如果底空间是n维的，每根纤维是m维的，则这个丛就是m+n维的。它是一种特别的流形，因为它具有可分解成纤维的性质。一根纤维上的点是彼此相关的，而不同纤维上的点是无关的。\\

3.从平凡到非平凡\\
设有两个空间M和N，且$a\in M$,$b\in N$ ，则所有有序对（a，b）构造了与M、N相伴的空间$M\times N$ ，它就是直积空间。例如，  $R^2$可定义为
$R^1  \times R^1$  。 再比如，亚里士多德时空中，时间与空间都是绝对的，时空是时间与空间的直积。相比之下，在伽利略和牛顿时空中，尽管时间是绝对的，但空间是相对的，时空是一个自然的纤维丛结构：底空间为 $R^1$ （时间），纤维是 $R^3$（空间），如图4。
 图4
由于没有绝对空间，所以不同纤维上的点（不同时间的空间点）之间没有自然的关系，所以只存在以$R^1$ 为底空间的自然的纤维丛结构，但不存在以
$R^3$为底空间的自然的纤维丛结构。
如果M和N是流形，则 $M \times N $显然也是一个流形（称为积流形）：M的一个开集U的坐标集合$\{x^i,i=1,2,\cdots,m\}$  与N的一个开集V的坐标集合 $\{y^i,i=1,2,\cdots,n\}$构成 $M \times N $ 的开集（U，V）的m+n个坐标的集合。从纤维丛的上述构造法显然可知，纤维丛至少在局部上是直积空间。但整体上如何呢？为此，考察二维球面 $S^2$ 上的切丛 $TS^2$ 由于 $S^2$到其自身上的每一个一一映射至少使 $S^2$的一个点固定不动，逆映射给出 $TS^2$的一个处处非零的截面，即在 $S^2$上定义了一个处处非零的$C^\infty$ 向量场。这种向量场将产生一个没有不动点的映射。由于底流形 $S^2$的拓扑，$TS^2$ 没有一个整体的直积结构，故切丛 $TS^2$不是平凡的。
上面是由于 $S^2$的不平凡而使$TS^2$ 不平凡，其实，即使底流形允许一个平凡丛，也可以用它构造非平凡丛。考察$S^1$ 的切丛$TS^1$ .与 $S^2$不同的是，$S^1$ 允许一个处处非零的连续向量场，而 $TS^1$与积空间$S^1 \times R$ 全同。但是，由此既可构造柱面（图5），也可以构造出墨比乌斯带（图6）。
 图5
 图6
本来，在 $S^1$的任意连通开子集上的那部分丛到下图5的同样部分有一个连续的一一映射，
但绕行一周后，从整个一个丛到整个另一个丛上不存在连续的一一映射。
所以，墨比乌斯带局部上是直积空间（平凡的），但整体上非平凡。这教训我们，仅仅说明丛的底空间和纤维是不够的，因为可能有不止一种方法来构造丛。对纤维丛我们需要一个更好的定义。后来的研究表明，这一问题可以通过在丛上定义“群”来解决。 $S^1$上这两个纤维丛的差别就在于它们各自的结构群。由于流形的连续性，结构群一般为连续群（李群）。对一个n维流形M，切丛TM的结构群是 阶非奇异（行列式不为零）矩阵的集合，记作GL(n,R)，意为实n维一般（general）线性（linear）群。在上面的例子中，柱面的结构群为单位元素1，而墨比乌斯带的结构群为\{1，-1\}。\\

4.从变换群到联络\\
在拙作《漫谈抽象代数》一文中提到Klein的Erlangen纲领：在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。这一纲领非常伟大，因为它统一了大部分几何学；但也有不足，因为它没有把黎曼几何包括进来。于是，犹如物理学追求大统一理论一样，几何学也需要在更高的观点下统一——这就是由嘉当等人所发展的联络理论。下面我们就来认识这一伟大的理论。
为了引出联络的概念，让我们首先从黎曼几何谈起。
我们可以将曲面看作欧几里得空间中的一个几何实体，也可以把它本身看成一个独立的几何实体。乍一看，好像没什么了不起，只是对同一几何对象换了一种描述方法而已；但仔细研究发现，这一转变使我们走上了本质上与欧式几何不同的道路——这一点在分析曲面上物质的运动时看得很清楚：在欧式空间中，物质可以在曲面上运动，也可以在曲面外运动（因为曲面外仍有空间），例如在1/4圆弧中运动的物体，在圆弧中作变速圆周运动，离开圆弧后作平抛运动；但在黎曼空间中则不然，由于曲面就是空间本身，曲面之外一无所有，所以物质不能脱离曲面到空间外去运动。
黎曼空间是弯曲的，所以黎曼几何与欧式几何有很大不同，比如三角形内角和不再是180度。尤其重要的是，在黎曼空间中两点之间不能连成直线。例如在球面上，两点之间最近距离是“大圆弧”。我们把这一间隔为极值的路径称为短程线。欧式空间中，向量平移是将向量的尾端沿PQ自P移到Q，平移时保持向量与PQ的夹角不变，如图7所示。
 图7
但黎曼空间是弯曲的，如果再那样平移就可能移到空间外面，不再是向量了。所以要想出新的平移办法。列维-奇维塔的办法是，沿连接PQ的短程线进行移动，移动时保持向量A与短程线的切线之间的夹角不变，将向量的尾端自P移到Q，如图8所示。
 图8
我们都知道，代数运算是对空间同一点进行的，不涉及空间的几何性质，对于欧式空间和黎曼空间相同；但微分运算必须考虑与之相近的点，即不同的点之间的关系，这就必然涉及空间是否弯曲的几何性质。为了联系不同点的向量（即进行比较、运算），必须引入联络空间。下面我们就来看看这件有趣的事情是怎样发生的。
在曲线坐标系中，参数方程 $x^i=x^i(t)$给出一条曲线。将 $P(x^i)$点的向量A(P)沿曲线平移至邻近的一点$P'(x^i+dx^i)$ ，平移后的向量记作A'(P') 。显然A(P)=A'(P') 。 将上式分别按P、P' 的局部标架展开，有$A^i e_i =A'^i e'_i$   。而P和P'点基向量关系为$e'_i =e_i +d e_i$  ，其中
$$
de_i  = \frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}dx^k  = \frac{\partial }{{\partial x^k }}\frac{{\partial \vec r}}{{\partial x^i }}dx^k  = \frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }}dx^k
$$
将向量
$$
\frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }}
$$
按P点的局部标架 $e_j$ 展开为
$$
\frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }} = \Gamma _{ik}^j e_j
$$
其中$\Gamma _{ik}^j$是线性组合的系数。于是
$$
e'_i  = e_i  + de_i  = e_i  + \frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }} = e_i  + \Gamma _{ik}^j e_j dx^k
$$
于是
$$
A^i e_i  = A'^i e'_i  = A'^i (e_i  + \Gamma _{ik}^j e_j dx^k ) = A'^i e_i  + A'^i \Gamma _{ik}^j e_j dx^k
$$
设$\delta A^i  = A'^i  - A^i $称为平移增量，代入上式并移项，得
$$
(A'^i  - A^i )e_i  + (A^i  + \delta A^i )\Gamma _{ik}^j e_j dx^k  = 0
$$
展开并略去二级小量，得
$$
\delta A^i e_i  + A^i \Gamma _{ik}^j e_j dx^k  = 0
$$
为统一  $e_i$与$e_j$  ，调换第二项的哑标i，j，得
$$
\delta A^i e_i  + A^j \Gamma _{jk}^i e_i dx^k  = 0
$$
因$e_i$ 线性无关，故
$$
\delta A^i  + A^j \Gamma _{jk}^i dx^k  = 0
$$
即
$$
\delta A^i  =  - \Gamma _{jk}^i A^j dx^k
$$
类似地，可以导出
$$
\delta A_i  =  - \Gamma _{ik}^j A_j dx^k
$$
这两个式子称为平移公式。平移增量 $\delta A_i$ 与$A_j$  ，$dx^k$ 线性相关，还与线性组合的系数 $\Gamma _{ik}^j$ 有关。这些线性组合的系数联系着某一局部区域上向量平移前后的各对应分量，所以将它们称为联络系数，简称联络。引进了联络的流形称为联络空间。有了联络空间，不同点向量的比较、运算才成为可能。由于
$$
\Gamma _{ik}^j e_j  = \frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }} = \frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}
$$
故
$$
\Gamma _{ik}^j  = \Gamma _{ik}^j e_j e^j  = e^j \frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}
$$
即$\Gamma _{ik}^j $是$e^j $与$\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}$的内积。对笛卡尔直角坐标
$$
\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}=0
$$
，则全部联络系数为零，于是 $\delta A_i =0$，自然不存在平移增量的问题。
大家可能觉得上面的定义太抽象。下面，允许我做一个类比。我们都知道量子力学中的态叠加原理$\psi=\psi_1 +\psi_2 +\cdots$
 （因为 $\psi_1$   ， $\psi_2$ ，……线性无关，故可以作为Hilbert空间的一组基）。与之类似，联络是向量
$\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}$在坐标基底 $e^j$ 上的分量。【坐标基底 $e^j$与向量
$\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}$的内积$\Gamma _{ik}^j $就类似于$c_1 =(\psi_1 ,\psi)$ ，$c_2 =(\psi_2 ,\psi)$ ，……】，反映了曲面上一点附近的几何性质的相互联系，联络系数就相当于态矢$\psi$  按基矢 $\psi_1 $ ,$\psi_2 $   ，……展开的展开系数$c_1 $  ，$c_2 $  ，……
下面我们来看看联络这一概念能带给物理学什么丰厚的礼物。为此，我们还需要定义联络的和乐群（holonomy group）。流形上定义了联络，就定义了向量沿流形上某曲线的平行移动，同时也就定义了标架沿曲线的平行移动。将某给定标架沿以P点为起点及终点的封闭曲线平行移动，得到在P点的新标架，它是原标架的线性变换，造成切空间$T_p(M)$ 的自同构变换。沿不同的封闭曲线将得到$T_p(M)$ 的不同的自同构变换。这样，所得到的所有$T_p(M)$ 的自同构变换的集合就构成一个群，称为联络的和乐群。
好了，下面可以看看物理了。我们来简单谈一下A-B效应。有了上面的基础就不难解释量子力学中相位与干涉问题的数学本质。可以证明（此处从略），场强就是丛的曲率，矢势就是丛的联络。那么，由于柱形磁场将空间由单连通变成双连通，变成了拓扑非平庸（平凡与平庸同义，不同书上称呼不同）。在绝热微扰问题中，绕行一周就相当于沿曲线平移一周，所以构成纤维丛上的和乐（严格说应该称为异和乐）。这就是为什么说“Berry相位是几何相位，而非动力学相位”的原因。\\

5.从张量到微分形式\\
关于这个问题，我还没有学会，因为同调、上同调、闭形式、恰当形式等理论还没有掌握。这个深奥但意义深远的课题留待以后的日志中解决，现在仅把《数学物理中的微分形式》一书中精辟的序言摘抄下来。我想，这应该能让读者意识到“从张量到微分形式”这一革命的深远意义。
“……微分形式的概念与可微流形的概念有关……人们已经发现，用张量法研究几何或者物理定律不太合适，因为它要求一个非奇异坐标系，以便可以相对于这个坐标系给出向量和张量的分量。然而，按照可微流形的定义，一个单一的非奇异坐标系是不足以覆盖一个流形的。因此在一般的可微流形中，将不可能通过给定相对于单一坐标系的分量来描述一个张量场。结果，张量场的分量比起张量表示的内在含义来说是不重要的。张量场的所有类型中，反对称协变张量可由微分形式本质地表示出来。物理学理论，特别是Maxwell理论、杨-Mills理论、相对论，还有热力学和分析力学可以通过它们给出明确而简洁的公式……”\\

因为时间关系，有些重要而基本的问题没有解释清楚，比如逆变与协变概念的由来，。有兴趣的读者可参阅以下书籍：\\
1.舒茨B.F.《数学物理中的几何方法》，上海科学技术文献出版社（本文主要参考资料）\\
2.孙志铭《物理中的张量》，北京师范大学出版社（关于张量的入门书）\\
3.侯伯元、侯伯宇《物理学家用微分几何》，科学出版社\\
4.威斯顿霍尔兹(Westenholz,C.V.)著 ，叶以同译《数学物理中的微分形式》，北京大学出版社\\
5.余扬政、冯承天《物理学中的几何方法》，高等教育出版社（数学和物理的例子很多）\\
\end{CJK}
\end{document}

原文于2012-5-8 09:39 发表于繁星客栈，因繁星客栈瘫痪，故转载至此处。

据说科大本科生就学过群论和场论了，前两天殷义豪学长又推荐了一本写给本科生的弦论教材。那么，本科生可不可以学同调论呢？在这篇文章里，我们就来进行这种尝试。为了易于理解，请允许我以物理学家们的直观风格来阐述这极其抽象晦涩的数学理论。当然，虽然本文不需要很深数学基础，但如果你对四大力学、张量和群论的一点入门知识都不了解的话，文中某些论述也可能让你感到莫名其妙。所以建议你先读读我以前的拙作《漫谈抽象代数》和《现代微分几何的基本概念》。

你可能读过我的《漫谈抽象代数》或《现代微分几何的基本概念》，学过或自学过点集拓扑，但我还是想强调一下。现代数学是一种结构数学。现代物理中的数学方法是从（可微）流形开始的，而流形是从拓扑空间开始的，拓扑空间又是从集合论开始的。我们在集合上进行不同的运算，就构造了不同的空间。例如，引入加法和数乘，就定义了线性（矢量）空间，引入内积运算就定义了度量空间。事实上，我们也可以不引入距离的概念，只类比开区间的概念由邻域来定义开集，通过一个点集的每个开邻域都与n维欧式空间同胚（连续的一一映射）来定义流形。集合是静态的，但映射是动态的，所以集合上就可以有导数与微分这些与运动相关的概念。例如U与V交集中的点P经f与g分别映射为x与y，则取f的逆映射将x映回P，再映到y就给出y与x的函数关系，于是可以求y对x的导数（这就是映射的微分）。流形的可微性使得我们能够赋予它大量的结构，如微分形式、李导数（关键是构造一种拉回映射）、张量（纤维丛、联络）等。本文主要讨论微分形式，关于丛上的群结构和联络结构的讨论留到下一篇日志。好了，闲话少说，让我们进入正题。什么是同调，它与物理学什么关系呢？为了从认识论的深度说清楚这个问题，我们需要一些预备知识。

一、微分形式的基本概念

1.对偶空间

如前所述，对加法和数乘运算封闭的集合即为向量空间，我们用V表示。V的对偶空间V*是向量空间V上的线性函数构成的集合（用α，β，γ，…表示这些函数），V*中的元素称为对偶向量（或线性微分式）。函数α在u上值用αu表示。V*中的元素满足左分配律α(u+v)=αu+αv，α(cu)=c(αu)和右分配律(α+β)u=αu+βu，(cα)u=c(αu)，即对于α和u都是线性的，即定义了一个双线性映射。在V中，[tex]u = x^i e_i [/tex]；在V*中，[tex]\alpha  = \eta _i \varepsilon ^i [/tex]，且[tex]\varepsilon ^i e_j  = \delta _j^i [/tex]，故α为u的对偶向量，[tex]\varepsilon ^i [/tex]为[tex]e_j [/tex]的对偶基向量（也称具有上标的[tex]\varepsilon ^i [/tex]为逆变基向量，具有下标的[tex]e_j [/tex]为协变基向量）。

2.格拉斯曼代数

一个代数，是指这样的一个集合A，在这个集合中可有三种运算：数乘、加法、乘法。A在前两种运算下是一个向量空间，在后两种运算下是一个环。格拉斯曼代数G(V)是由V构造的：对V中任意x，y，定义x∧y=-y∧x，x∧x=0称楔形积∧为外积（对两个向量而言，外积即为矢量叉积），则对于V中一组基1，[tex]e_1[/tex] ，[tex]e_2[/tex] ，…，[tex]e_n[/tex] ，由1可张成1维子空间[tex]\Lambda ^0 [/tex]，由[tex]e_i [/tex]可张成n维子空间[tex]\Lambda ^1[/tex]，由[tex]e_{i_1 }  \wedge e_{i_2 } [/tex]可张成[tex]C_n^2 [/tex]维子空间[tex]\Lambda ^2[/tex]，…，由[tex]e_{i_1 }  \wedge e_{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge e_{i_p } [/tex]张成[tex]C_n^p  = \frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}[/tex]维子空间[tex]\Lambda ^p[/tex]，由[tex]e_1  \wedge e_2  \wedge  \cdots  \wedge e_n [/tex]张成1维子空间[tex]\Lambda ^n[/tex]，这些子空间的直和
[tex]G(V) = \sum\limits_{p = 0}^n { \oplus \Lambda ^p (V)}  = \Lambda ^0  \oplus \Lambda ^1  \oplus  \cdots  \oplus \Lambda ^n[/tex]

为[tex]C_n^0  + C_n^1  +  \cdots  + C_n^n  = 2^n [/tex]维向量空间，称为外向量空间或向量空间V的格拉斯曼代数，其中[tex]\Lambda ^p (V)[/tex]为生成此外代数的一组基。

类似地，对于对偶空间V*也有外代数[tex]G(V*) = \sum\limits_{p = 0}^n { \oplus \Lambda ^p (V*)} [/tex] .特别有意义的是，它的子空间的元素[tex]{\Lambda ^p (V*)}[/tex]称为向量空间V上的p次外微分形式，它是V上的反对称p重线性函数。

3.流形上的微分形式

设M为n维（无穷阶可微）流形，x为M上一点，U为M上点x的坐标邻域，Tx为点x处M的切向量空间，Tx*为Tx的对偶空间（或称余切空间）。对U中任意一点x，在余切空间中构造一个元素[tex]\omega  = a_i dx^i [/tex]，它是一个从x到ω(x)的映射，称ω为1次微分形式。为了得到更高次微分形式，我们利用格拉斯曼代数。令Vx=Tx*，

则[tex]G(T_x^ *  ) = \Lambda _x^0  \oplus \Lambda _x^1  \oplus  \cdots  \oplus \Lambda _x^n[/tex]

其中[tex]\Lambda _x^0 [/tex]是一维实矢量空间，[tex]\Lambda _x^1[/tex]是元素为[tex]a_i dx^i [/tex]的向量空间（以[tex]dx^i [/tex]为基），[tex]\Lambda _x^2[/tex]是元素为[tex]\sum\limits_{i_1  < i_2 } {a_{i_1 i_2 } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 } } [/tex]的向量空间（[tex]{dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 } }[/tex]为基），[tex]\Lambda _x^p[/tex]是以[tex]{dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } }[/tex]为基，
[tex]\sum\limits_{i_1  <  \cdots  < i_p } {a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } } [/tex]为元素的[tex]C_n^p  = \frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}[/tex]维向量空间，
[tex]\Lambda _x^n[/tex]是以[tex]dx^1  \wedge dx^2  \wedge  \cdots  \wedge dx^n [/tex]为基的一维向量空间。

综上所述，M上的p次微分形式[tex]\omega ^p [/tex]是M上的一个映射，它将M上任一点x映成[tex]\Lambda _x^p[/tex]中的一个元素，即
[tex]\omega ^p :x \to \omega ^p (x) = a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } [/tex]
我们把该p次微分形式的全体的集合记为[tex]F^p (M)[/tex]

4.霍奇星算子

为讨论对偶微分式，引入*算子作为一对向量空间[tex]\Lambda ^p (M)[/tex]和[tex]\Lambda ^{n - p} (M)[/tex]之间的线性变换，即

 [tex]* :\Lambda ^p (M) \to \Lambda ^{n - p} (M)[/tex]，p=0,1,2,…,n.在规范意义下，该映射诱导出微分形式之间有同样的映射[tex]* :F^p (M) \to F^{n - p} (M)[/tex].

设[tex]\omega  = \sum {a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } } [/tex]
则[tex]* \omega  = \sum {\eta _{i_1 i_2  \cdots i_p j_1 j_2  \cdots j_{n - p} } a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{j_1 }  \wedge dx^{j_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{j_{n - p} } }
[/tex]

例如[tex]df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^1  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^2  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^3[/tex]

经*运算后[tex]\frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}[/tex]不变，[tex]dx^i [/tex]变成[tex]\eta _{ijk} dx^j  \wedge dx^k[/tex] ，于是有

 [tex]* df = \eta _{123} \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^2  \wedge dx^3  + \eta _{213} \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^1  \wedge dx^3  + \eta _{312} \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^1  \wedge dx^2 [/tex]
由于[tex]\eta _{123}  = \eta _{312}  = 1[/tex]，[tex]\eta _{213}  =  - 1[/tex]，[tex]dx^1  \wedge dx^3  =  - dx^3  \wedge dx^1[/tex] ，故上式简化为
 [tex]* df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^2  \wedge dx^3  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^3  \wedge dx^1  + \eta _{312} \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^1  \wedge dx^2[/tex]

5.微分形式的外微分

设有一零次微分形式[tex]f \in F^0 (M)[/tex]，令[tex]X = \sum\limits_{i = 1}^n {x^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}} [/tex]为切向量空间Tx(M)中的一个向量，则
[tex]df(X) = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}dx^i  \cdot x^j \frac{\partial }{{\partial x^j }} = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}x^j \delta _j^i  = x^i \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }} = X(f)[/tex]
这表明，d作为一个微分算子是从[tex]F^0[/tex] 到[tex]F^1[/tex]的映射。相应地，可定义[tex]d:F^p (M) \to F^{p + 1} (M)[/tex]为由p次微分形式的空间到p+1次微分形式的空间的映射，称为微分形式的外微分，它将p次微分形式
[tex]\omega  = \sum\limits_{i_1  <  \cdots  < i_p } {a_{i_1 i_2  \cdots i_p } dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } }[/tex]

变成
[tex]\begin{array}{l}
 d\omega  = \sum\limits_{i_1  <  \cdots  < i_p } {da_{i_1 i_2  \cdots i_p }  \wedge dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } }  \\
  + ( - 1)^0 a_{i_1 i_2  \cdots i_p } d(dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } ) \\
 \end{array}[/tex]
经过p次交换d算子的位置，可以由证明上式第二项为零（p个零之和），于是有
[tex]d\omega  = \sum {\frac{{\partial a_{i_1 i_2  \cdots i_p } }}{{\partial x^j }}dx^j  \wedge dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } } [/tex]
则
[tex]d^2 \omega  = d \circ d\omega  = \frac{{\partial ^2 a_{i_1 i_2  \cdots i_p } }}{{\partial x^j \partial x^k }}dx^k  \wedge dx^j  \wedge dx^{i_1 }  \wedge dx^{i_2 }  \wedge  \cdots  \wedge dx^{i_p } [/tex]
交换指标k和j，由于[tex]dx^k  \wedge dx^j  =  - dx^j  \wedge dx^k [/tex]，于是[tex]d^2 \omega  =  - d^2 \omega[/tex] ，故
[tex]d^2 \omega  = d \circ d\omega  = 0[/tex]

6.梯度、旋度、散度、拉普拉斯算子

（1）grad f=▽f=dfº，即零次微分形式的一次外微分运算即为标量函数的梯度。

（2）设[tex]\omega ^1  = a_i dx^i  = A [/tex]，

 [tex]d(a_1 dx^1  + a_2 dx^2  + a_3 dx^3 )[/tex]
[tex]= (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^1 }}dx^1  \wedge dx^1  + \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }}dx^2  \wedge dx^1  + \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }}dx^3  \wedge dx^1 ) [/tex]

[tex]+ (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }}dx^1  \wedge dx^2  + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^2 }}dx^2  \wedge dx^2  + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }}dx^3  \wedge dx^2 ) [/tex]

[tex]+ (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }}dx^1  \wedge dx^3  + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }}dx^2  \wedge dx^3  + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^3 }}dx^3  \wedge dx^3 ) [/tex]
由于[tex]dx^1  \wedge dx^1  = dx^2  \wedge dx^2  = dx^3  \wedge dx^3  = 0[/tex]，
[tex]dx^2  \wedge dx^1  =  - dx^1  \wedge dx^2 [/tex]，[tex]dx^3  \wedge dx^2  =  - dx^2  \wedge dx^3 [/tex]，
[tex]dx^1  \wedge dx^3  =  - dx^3  \wedge dx^1[/tex]
故
[tex]\begin{array}{l}
 d\omega  = (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }} - \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }})dx^1  \wedge dx^2  \\
  + (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }} - \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }})dx^2  \wedge dx^3  + (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }} - \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }})dx^3  \wedge dx^1  \\
 \end{array}[/tex]

由于[tex] * (dx^2  \wedge dx^3 ) = \eta _{231} dx^1[/tex] ，[tex]* (dx^3  \wedge dx^1 ) = \eta _{312} dx^2[/tex] ，[tex]* (dx^1  \wedge dx^2 ) = \eta _{123} dx^3 [/tex]，故
[tex] * d\omega  = (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }} - \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }})dx^3  + (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }} - \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }})dx^1  + (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }} - \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }})dx^2 [/tex]

这和旋度的表达式一摸一样，故*dA=▽×A=rotA
（3）仍设[tex]\omega ^1  = a_1 dx^1  + a_2 dx^2  + a_3 dx^3 [/tex]，同理可得
 [tex]* d * \omega ^1  = \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^1 }} + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^3 }} = \nabla  \cdot A = divA[/tex]

（4）给定一个球坐标下的零次微分式f=f(r,θ,φ)，在弯曲时空中作一次外微分运算，得
[tex]df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dr + \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}d\theta  + \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}d\varphi [/tex]
为了进行*运算，需要变换到平直空间：[tex]dx^1  = dr[/tex]，[tex]dx^2  = rd\theta[/tex] ，[tex]dx^3  = r\sin \theta d\varphi [/tex]，于是
[tex]df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dx^1  + \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}dx^2  + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dx^3 [/tex]
现在，作一次*运算，得
[tex] * df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dx^2  \wedge dx^3  + \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}dx^3  \wedge dx^1  + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dx^1  \wedge dx^2 [/tex]
为了进行外微分运算，需要变换到弯曲空间：
 [tex]* df = r^2 \sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial r}}d\theta  \wedge d\varphi  + \sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}d\varphi  \wedge dr + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dr \wedge d\theta [/tex]
现在，作一次外微分运算，得
[tex]d * df = \sin \theta \frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}})dr \wedge d\theta  \wedge d\varphi [/tex]

[tex] + \frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }})d\theta  \wedge d\varphi  \wedge dr + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}d\varphi  \wedge dr \wedge d\theta [/tex]

为了进行*运算，再变换到平直空间，得
[tex]\begin{array}{l}
 d * df = [\frac{1}{{r^2 }}\frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}}) + \frac{1}{{r^2 \sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}) \\
  + \frac{1}{{r^2 \sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}]dx^1  \wedge dx^2  \wedge dx^3  \\
 \end{array}[/tex]
现在，在进行一次*运算，得
[tex] * d * df = \frac{1}{{r^2 }}\frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}}) + \frac{1}{{r^2 \sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}) + \frac{1}{{r^2 \sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}[/tex]
这正是球坐标下拉普拉斯算子的表达式，故有 * d * df =▽²f=Δf
综上所述，dfº=▽f=grad f，*dA=▽×A=rotA ，*d*A=▽·A=divA， * d * df =▽²f=Δf.需要注意的是，求上述量在弯曲坐标系的表达式时，进行d运算前要变换到弯曲空间，进行*运算前要变换到平直空间。

二、同调论的基本概念

1.同伦与同调的基本思想：

设二维平面上有一个圆环，环上有三条封闭曲线l，m，n，其中l不跨过中心的洞，m包围中心的洞，n包围了m.考虑曲线积分∮pdx+qdy，这里p=p(x,y),q=q(x,y)是两个变量的连续函数，它们的偏导数连续且满足əp/əy=əq/əx.那么，沿着闭曲线l的积分为零，沿着闭曲线m和n的积分相等且不为零。拓扑学是专门研究一个物体的“洞”的情况的几何学，只管洞得有无、多少，不管大小，例如，耳洞数相同的女生在拓扑学的意义下是等价的。因为拓扑学的本意是橡皮泥几何学，橡皮泥是可以连续形变的，形变过程中不保距也不保角（这就是为什么我们前面引入拓扑空间时一再强调要暂时忽略距离等度量性质的原因），只保洞数（连续性）不变。我们称能够经过连续形变由此及彼的两个几何对象是同伦的，例如上述闭曲线m和n同伦（但都与l不同伦）.实际上，圆环上任何跨过中心洞的闭曲线都能互相由此及彼，因而都是同伦的。特别地，不跨过中心洞的闭曲线经过连续形变可以收缩为一点，称之为同伦于常值道路（一条曲线就是一条道路）。为什么叫同伦？呵呵，具有相同耳洞数的女生的伦理观念可能是相同的吧。至少，有耳洞的与没耳洞的女生人生价值观不同。

那么，什么是同调呢？通俗地说，如果两条曲线共同围成一个区域的边界，就称它们是同调的。例如上述闭曲线m和n.由于中心洞的存在，m和n都没能围成一个区域（l与洞无关，自身就围成一个区域）。但m与n放在一起（严格地说，曲线是有方向的，应该说m与-n，或m-n）却围成了一个区域，所以它们共同构成一个区域的边界，即它们是同调的。

为什么叫同调？“调”本来是音乐术语，经常听说某某唱歌跑调，那就是不能和原唱所唱的调吻合。特别地，两个人一起唱歌，一个比另一个慢半拍，或比另一个低八度，那么两人一起唱出来的歌就很难听。所以，“调”需要两个人配合。那么，怎么让两条曲线配合？那就是夫唱妻随两人一起共同构成某区域的边界，如上述m与-n。特别地，世上也有奇人，一个人能唱两个调，譬如李玉刚，既能唱男声也能唱女声，所以就不需要人配合。类似地，某些曲线不需要其他曲线配合，自己就能构成一个区域的边界，例如上述曲线l.不需要任何曲线配合，那就同调于零呗。二维闭曲面可以构成三维区域的边界，一维闭曲线可以构成二维区域的边界，那么一个点（零）也可以构成一维区域（线段）的边界，那就是端点呀。

我们把一条曲线称为一条道路，所有同伦的道路构成一个集合，称为（道路）同伦类。一条道路有起点也有终点。如果像羽泉《哪一站》所唱“终点也是起点”，即一条道路的终点是另一条道路的起点时，我们不就可以从这条路走向那条路吗？真是山重水复疑无路，柳暗花明又一村啊。我们把从一条路走向另一条路称为道路的乘积（即定义一种乘法）。设由A到B再到C三条小道连成一条康庄大道，显然，走完AB歇一会再走C，与走完A就歇一会，然后一口气走完BC，结果是一样的。所以，道路的乘法满足结合律。由于任何道路P与常值闭道路l的乘积仍是P，所以常值闭道路可以看作道路的单位元。而道路不是二极管，我们也可以沿着与原来相反的方向走，并称这是逆路。不过，这里倒不用担心不进则退，因为没有水；也不用担心狭路相逢，即使千军万马过独木桥也不会掉河里。综上所述，道路满足封闭性、结合律、有单位元、逆元，所以构成一个群，称为道路的基本（同伦）群。

基本群的思想很简单，但计算上不方便。尤其到了高维同伦群，更是蜀“道”之难，难于上青天。于是，人们转入同调（群）论的研究。

如前所述，能一起构成某一区域边界的两条闭曲线是同调的，独自一人就能构成某一区域边界的闭曲线同调于零。所有同调的曲线构成一个等价类，称为同调类。那么，同调的曲线如何构成群呢？让我们来考察汽车轮胎的内胎，它是三维空间中的二维环面。在环面上有很多封闭曲线，但基本上可分成两类：经圆类m和纬圆类p（类似于地球经纬线，一类沿汽车轮子滚动方向，另一类垂直于该方向）。如果一条闭曲线既沿经圆方向环绕又沿纬圆方向环绕，则可以表示为m与p的线性组合。例如绕经圆2圈绕纬圆3圈，则表示为2m+3p.环面上任意闭曲线具有形式αm+βp（这里α、β是整数）；另外同调类之间可以加减。所以，环面上全体同调类的集合构成一个群，它是具有两个生成元m，p的（自由交换）群，同构于两个整数加群的直和。类似地，双环面（两个车胎对接）是具有4个生成元m1，m2，p1，p2的自由交换群，每一同调类具有α1m1+α2m2+β1p1+β2p2.

当然，这刚刚定义了同调类。要定义同调群，还需要做进一步考察：

所有闭曲线构成一个群，称为闭路群。在这些闭路（闭曲线）中，有的自己一人就构成某区域的边界，有的不能界住任何区域，需要配合其他闭曲线一起才能构成某区域的边界。我们把那些能独自构成某区域边界的闭路称为边缘闭路。所有这些边缘闭路构成一个群，称为边缘群，它是闭路群的一个子群。既然是子群，那么就可以对它作（母群的）商群，也就是在这些闭路中除去那些边缘闭路。我们把这一商群称为同调群。

为什么要除掉那些边缘闭路呢？我们还要引入一些概念，请继续往下看。

2.曲面的多边形表示与三角剖分：

为了计算同调群，我们要化曲为直，即把用直面等价代替曲面进行讨论。

如果你看过足球烯，你就会明白，球面其实是与凸多面体同胚（连续的一一映射）的。所以，我们完全可以用多边形来表示曲面。在曲面上像经纬线那样画一个有限网络，它由有限个顶点和连接这些顶点的有限条弧组成。若它能将曲面分割成有限个同胚于圆盘的区域，我们就称该曲面能剖分成多边形。

在平面上画一些多边形，在多边形顶点上标上字母，在边上标上箭头代表方向，把相同的字母和方向相同的边粘合在一起，将得到一个曲面（特别是如果多边形分布合理的话能构成闭曲面），称为曲面的多边形表示。

给定一个曲面，它的多边形表示不止一种。不同曲面能剖分成的多边形种类不同，有些不能剖分成任意给定的一种多边形。但是，任何曲面都能剖分成三角形。所以，我们今后主要研究曲面的三角剖分。

当然，即使只采取三角剖分，剖分方式也不止一种。例如，正四面体、正八面体、正二十面体都是球面的三角剖分。但对于给定的一种曲面，存在最小的三角剖分（即用最少的三角形数，如球面的最小剖分为正四面体）。

下面，我们就来看看如何进行三角剖分。

首先，剖分要保证每个顶点和每条棱都是某个三角形的顶点和棱；每条棱都是（或至多是）两个三角形公共边；对任意两个三角形，都有一个三角形序列把它们连接起来，使得相邻两个三角形有公共边；

其次，在每个顶点标上字母，由字母的顺序诱导三角形的边及其三角形本身的方向。如果所有相邻三角形的公共边反向，则称这些三角形是协合的。如果一个曲面的三角剖分能指定协合方向，则称该曲面是可定向的。球面、环面都是可定向的，莫比乌斯带是不可定向的。

3.闭链、边缘链和同调群：

为了便于计算同调群，我们只研究一类特殊的空间，它可以看成由一小块一小块我们熟悉的空间“很好地”拼凑（或规则相处，指要么不相交，要么公共部分为它们的公共面单形）起来的，即所谓的可单纯剖分的空间。曲面是二维的，可以用三角形剖分；对高维空间，就要用相当于三角形的“高维砖块”来砌成我们的建筑物了（呵呵，建筑也是一门艺术呢，公园里平面镶嵌的设计者一定是位数学家兼艺术家）。

我们把由一点组成的图形叫做0维单（纯）形，记作σº=＜v。＞；闭线段称为1维单形，记作σ¹=＜v0,v1＞；三角形称2维单形，记作σ²=＜v0,v1,v2＞；四面体称3维单形，记作σ³=＜v0,v1,v2,v3＞…单形σ³=＜v0,v1,v2,v3＞的0维面（即顶点）为＜v0＞,＜v1＞,＜v2＞,＜v3＞；1维面（即棱）有＜v0,v1＞，＜v0,v2＞，＜v0,v3＞，＜v,1,v2＞，＜v1,v3＞，＜v2,v3＞；2维面有＜v0,v1,v2＞，＜v0,v1,v3＞，＜v0,v2,v3＞，＜v1,v2,v3＞.

有限个规则相处（要么不相交，要么公共部分为它们的公共面单形）的单形之和称为一个（单纯）复形，记作K.闭曲面的三角剖分称为单纯剖分。下面，我们来考虑环面的一个选定的单纯剖分K，考虑这个剖分下的定向多边形曲线，方向由顶点的字母顺序诱导，并标在多边形的棱上。若一条棱的顶点为v，w，则用<v,w>表示这条棱，方向由v到w.类似地，若u,v,w是K的一个三角形顶点，则<u,v,w>表示按顶点顺序u，v，w定向的二维单形。只要保证三角形的顶点环绕方向不变，从哪个顶点开始写没有关系。序向的改变用一个负号表示，即满足<w,v>=-<v,w> ，<v,u,w>=-<u,v,w>.定向棱<v,w>的边缘定义为ə<v,w>=<w>-<v>，定向三角形的边缘定义为ə<v,u,w>=<v,w>+<w,u>+<u,v>，即它的定向棱之和。0维单形的边缘定义为零。

任意多边形曲线可以看作其各定向棱之和，其边缘定义为其各定向棱的边缘之和。如果计算得其边缘值为零，则称该多边形曲线没有边缘，即它是闭的。

现在考虑一般情形。K的定向棱以整系数的线性组合为z=λ1<u1,v1>+…+λk<uk,vk>.如果它的边缘əz=0，我们就称z是K的一维闭链。对于K的任意两个1维闭链Σλi<ui,vi>及Σμi<ui,vi>，定义加法Σλi<ui,vi>+Σμi<ui,vi>=Σ（λi+μi）<ui,vi>，则K的全体一维闭链在这个加法下构成一个（交换）群，称为一维闭链群，记作Z1(K).如果一个闭链能找到定向三角形的一个整系数的线性组合，使得它的边缘恰是这个闭链，就称该闭链为一个边缘链。全体一维边缘链构成一维闭链的一个子群，称为一维边缘链群，记作B1(K).我们感兴趣的是包围一个洞的闭链，即非边缘的闭链。为了从闭链中除去那些边缘链，我们将闭链对边缘链作商群运算，即H1(K)=Z1(K)/B1(K)，并把该商群称为一维同调群。该定义可推广到p维。

据定义，若两个闭链相差一个边缘链（如前述的闭曲线m与n），则它们是同调的。

三、微分形式与同调论的联系

1.闭形式与恰当形式：

若ω=dθ，则称ω为恰当形式；若dω=0，则称ω为闭形式。因为ddω≡0，故恰当形式一定是闭形式，这称为庞加莱引理。一般情况下，其逆命题不成立。但是可以证明，在局域单连通邻域上，闭形式也是恰当形式。

2.微分形式的积分：

在R¹中，取一闭区间[a,b]=D，将D的有向边缘记为əD=ə(a,b)=b-a，其中ə称为边缘算子。于是牛顿-莱布尼茨公式为[tex]\int_D {df}  = f(b) - f(a) = \int_{\partial D} f [/tex]，该公式反映了1维体积分和（2-1）维边界上的积分的联系。

在R²中，令ω¹=Pdx+Qdy，则
[tex]d\omega ^1  = (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dx \wedge dy[/tex]

于是格林公式
[tex]\int_D {(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dxdy}  = \int_{\partial D} {Pdx + Qdy} [/tex]
即简化为[tex]\int_D {d\omega }  = \int_{\partial D} \omega [/tex] ，该公式揭示了2维体积分与（2-1）维边界上积分的联系。
在R³中，令ω¹=Pdx+Qdy+Rdz，则斯托克斯定理简化为∫∫Ddω¹=∮əDω¹

在R³中，令ω²=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy，则高斯定理简化为∫∫∫Ddω²=∮əDω²
上述四个公式可统一地写成[tex]\int_D {d\omega }  = \int_{\partial D} \omega[/tex]  ，称为广义斯托克斯公式。由此可见，采用微分形式的表述方式，不仅反映了定理本身内容，而且反映了坐标变换时表达式的协变规律。

在微分形式框架下表述的广义斯托克斯公式，可推广到n维域D上n次微分形式ω和（n-1）维边界əD上（n-1）次微分形式之间。在n维流形M中取一有界闭区域D，其定向与M一致。D的边界为əD，其定向由D诱导。只要有界区域D能被基本单纯形（点、线段、三角形、四面体等）剖分，则在D上的积分就是在用来剖分的单纯形上的积分之和。在əD上的积分就是沿每个单纯形边界的积分之和。当沿内部边界积分相加时，两次取向相反的每两个积分抵消，从而得到沿整个区域边界上的积分。

积分区域的三角剖分与前面讲的闭曲面的三角剖分完全类似，将一小块一小块区域累加起来得到等于一大圈边界上面积的思想也与拓扑学中将一毫升空气一毫升空气吹进气球得到整个气球体积的思想不谋而合，这就预示着我们可以类比闭曲面的同调理论建立微分形式的同调理论，这就是我们下面要讲的德拉姆上同调。

3.德拉姆上同调：

类似于“若两个闭链相差一个边缘，则这两个闭链是同调的”，我们可以定义微分形式的同调：若两个p次闭微分形式ω1与ω2仅仅相差一个恰当微分形式dθ，即ω1=ω2+dθ，则称这两个闭形式是同调的，记作ω1~ω2.

类似于闭曲面的同调群是闭链群对边缘链群的商群， 我们将p次闭微分形式构成的向量空间[tex]\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)[/tex]对p次恰当微分形式构成的向量空间[tex]dF^{p - 1} (M)[/tex]的（同余）商空间
[tex]{{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} {dF^{p - 1} (M)}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}[/tex]
定义为微分形式的同调群，记作
[tex]H^p (M) = {{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\mathop {F^p }\limits^ \circ  (M)} {dF^{p - 1} (M)}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}[/tex]

例如，球面S²的德拉姆上同调群H¹(S²)=0，即球面上每个（1次）闭微分形式都是恰当微分形式。
类似于前面闭曲面“边缘的边缘等于零”，即ə·əD≡0，我们有d·dθ=0，即恰当微分形式dθ上同调于零，
[tex]{dF^{p - 1} (M)}[/tex]是上同调于零的若干个p次（恰当）微分形式构成的群（集合）。以元素
[tex][\mathop \omega \limits^ \circ  ] \in H^p (M)[/tex]标记闭微分形式[tex]\mathop \omega \limits^ \circ [/tex]对特指的等价关系的等价类，称为上同调类，矢量空间 [tex]H^p (M)[/tex]的维数就是线性独立的上同调类的数目。
同调类可能太抽象了，不好理解。其实，正如我在《漫谈抽象代数》一文中所讲的，我们可以在一个集合中，将具有相同属性的归为一类，不同的归为不同的类，然后，在全集中把某一类（集合的子集）除去（或说忽略掉），这就是商集合（商空间、商群也是这个意思）。最简单的例子就是同余类（余数相同的归为一类，如被3除，余数为0的归为一类，余数为1的归为一类，余数为2的归为一类）。再通俗点说，把头发颜色相同的女生归为一类。集合的概念就像家庭一样，它里面的元素就是它的家庭成员，也像人类一样吃饭时有不同的口味。假如我们把所有微分形式看成一个大家庭，这个家庭里喜欢吃面食的成员叫做闭微分形式，喜欢吃面条的成员叫做恰当微分形式，那么我们就可以蒸一锅馒头（是面食但不是面条），让喜欢吃面条的成员饿着，这就叫商群，呵呵，明白物以类聚、人以群分的道理了吧。

理解任何同调群都有个原则性的困难，那就是何为商群；理解上同调群这个特定同调群有个困难，那就是微分形式与曲面拓扑性质无关，只有到把它积分时（广义斯托克斯公式）才能找到与曲面拓扑的关系——积分区域也可以像闭曲面一样作三角剖分。

四、同调论与物理学

（1）经典力学

考察一个质点的的单一自由度运动，其相空间是二维的。再加上一维时间，就构成三维流形，其基矢选为dq,dq',dt.构造ω¹=(əT/əq')dt,θ¹=-Udq，则
[tex]d * \omega ^1  = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right)dt \wedge d\dot q \wedge dq[/tex]
[tex]d * \theta ^1  =  - \frac{{\partial U}}{{\partial q}}dq \wedge dt \wedge d\dot q[/tex]
这是M³中同一点的两个恰当微分形式，它们上同调于零，即d*ω¹=0+d*θ¹.移项，得
[tex][\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial q}}]dt \wedge d\dot q \wedge dq = 0[/tex]
微分形式基底不为零，故
[tex]\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial q}} = 0
[/tex]

注意到L=T-U，则有
[tex]\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial q}} = 0[/tex]
这就是自由质点的拉格朗日方程。

值得注意的是，就理论框架而言，我们未涉及最小作用量原理。我们输入的仅仅是动量和势的一次微分形式，然后按微分形式所遵循的规律作允许的运算，，不再输入先验的原理，就得到预期的结论。所以，用上同调来建立线性模型的动力学方程的方法具有明显的优越性——不仅简洁，还有丰富的代数和几何意义。可以断言，微分形式的上同调理论给出了所有线性动力学方程的框架。一旦有恰微分式上同调，就自然地导出一级变分为零的必然结果。

（2）热力学

由d(AdB)=-d(BdA)，可得d(TdS-pdV)=d(TdS+Vdp)=0，故TdS+Vdp必为某恰当微分形式，实际上TdS+Vdp正是dH.同理可得dF，dG.

由dE=TdS-pdV，作一次外微分运算，有ddE=(əT/əV+əp/əS)dV∧dS=0，即得əT/əV+əp/əS=0，即əT/əV=-əp/əS.这就是麦克斯韦关系之一。同理，由ddH=0，ddF=0，ddG=0可得另三个麦克斯韦关系。

（3）电动力学

考虑平直的闵可夫斯基四维流形，设四维势为[tex]\omega ^1  = A_0 dx^0  + A_1 dx^1  + A_2 dx^2  + A_3 dx^3[/tex] ，
作两次外微分运算，由ddω¹=0可得
[tex]\frac{{\partial F_{\mu \upsilon } }}{{\partial x^\gamma  }} + \frac{{\partial F_{\lambda \mu } }}{{\partial x^\upsilon  }} + \frac{{\partial F_{\upsilon \lambda } }}{{\partial x^\mu  }} = 0[/tex]
此即▽·B=0和▽×E+əB/ət=0

又设四维电流密度为[tex]\gamma ^1  = j_0 dx^0  + j_1 dx^1  + j_2 dx^2  + j_3 dx^3 [/tex]

由*δω²=(-1)²d*ω²=*γ¹可得
[tex]\frac{{\partial F_{\mu \upsilon } }}{{\partial x^\upsilon  }} = j_\mu[/tex] 
此即▽·E=ρ和▽×B-əE/ət=j.
（4）量子力学/规范场论

我们可以类比上同调定义相关同调、泛同调，从而把同调论推广到非线性领域，例如杨-米尔斯方程。这方面的理论还处于研究阶段，暂不介绍。

………………………………………………………………………………………………………………………………

同调论到此为止，下面说说现代数学对现代物理学的意义。很多物理学家，尤其是实验物理学家和应用物理学家排斥数学，好像用不着演绎，自然规律都能从唯象中归纳出来似的。我想，大家都听说过“欲穷千里目，更上一层楼”吧。要想看得更远，需要站在巨人的肩膀上。纵观物理学史，几乎每一次数学形式的进步都大大地促进了物理学的发展。且不说圆锥曲线理论对发现行星运动定律的影响，且不说微积分对研究变加速、不规则和非线性问题的影响，那些都是几百年前的事了，我们且来看看近代的例子。

大家都知道爱因斯坦提出了广义相对论，但广义相对论是怎么提出的，这其中经历了多少坎坷却不是一本科普书能讲得清楚的。广义相对论的物理思想是非常简单的，但为什么老爱有了这个想法后又经历了好几年才给出引力场方程呢？不是他脑子笨，而是当时黎曼几何还不成熟，没人会想到那正是适合于描述引力的语言。爱因斯坦在建立相对论的过程中发展了黎曼几何，从这个意义上讲他也算半个数学家吧。

那么，与相对论并驾齐驱、共同构成现代物理学支柱的量子力学又如何呢？这就不能不说说经典力学的发展。为了使经典力学适用范围更广泛，拉格朗日等人将数学分析引入牛顿力学，用更广泛的能量、动量概念代替力、加速度等概念，得到分析力学。后来的发展表明，牛顿力学不适合描述高速和微观现象，而从分析力学的变分原理（最小作用量原理）出发却可以导出电动力学、量子力学、统计力学乃至全部物理学。而最小作用量原理又是微分形式上同调于零的必然结果。可见，数学形式的发展对物理学的影响是非常巨大的，数学虽是形式，但形式中蕴含了物理内容。

谈到作用量，就不得不谈一下对称性。诺特定理表明，作用量的每一个连续对称性都对应一种守恒律。例如，动量是空间平移变换的生成元，空间平移对称性就导致动量守恒；角动量是空间旋转变换的生成元，空间旋转对称性就导致角动量守恒，等等。量子力学中，很多时候并不需要具体计算某些细节，只要进行对称性分析就能简洁地得到结论。所以，对称性分析有利于量子力学的发展。那么，用什么描述对称性呢？那就是群论。例如，前面谈到的角动量，就可以用SO(3)描述。量子力学的角动量问题，就是要解SO(3)的李代数方程。

谈到对称性，还不得不谈一谈规范场。例如电磁场就是U(1)规范场，杨-米尔斯场就是SU(2)规范场。群论可以帮助我们统一基本相互作用，例如SU(2)×U(1)统一了弱相互作用和电磁相互作用。所以，群论对物理学发展具有重大意义。

谈到规范场，还不得不谈一谈纤维丛。在柱形磁场外面运动的电子为什么会发生干涉呢？因为场强为零但规范势不为零。在微分几何中，场强就是纤维丛的曲率，规范势就是纤维丛的联络。由于柱形磁场的存在，空间的拓扑性质发生了变化，由单连通变成了多连通。于是，当矢量绕行一周回到原位置时就相差了一个相因子，并且与初始状态不等价。为了描述这种现象，就要引入空间的自同构变换，这些自同构变换构成一个群，它就是联络的和乐群。

综上所述，数学形式的发展对于物理学的进一步发展是至关重要的，绝不是一种故意显酷的装B行为。

欲知如何从黎曼几何导出广义相对论，如何用李群分析量子力学，如何从纤维丛导出规范场，请听下回分解。

李群、黎曼几何与纤维丛简介

由于量子力学与李群有关，广义相对论与黎曼几何有关，规范场与纤维丛有关，超弦与代数几何有关，所以物理学家要深入研究物理就必须对它们有所了解。在这篇文章中，我将对李群、黎曼几何与纤维丛做一个初步介绍（代数几何比较深奥，等我学完它的预备知识“交换代数与复分析”再说）。由于我是初学者，理解错误在所难免，所以外行请不要盲目相信，内行看出错误请指出来哪里错了，正确的理解是什么。就当我是抛砖引玉吧。

一、预备知识

1.切向量

设[tex]x^i (t) [/tex]为一条光滑曲线，M、N为曲线上两点，坐标分别为[tex]f(t_0 ) = x^i (t_0 ) [/tex]，

[tex]f(t_0  + \Delta t) = x^i (t_0  + \Delta t) [/tex]，则曲线在M点的切向量就是N与M距离与Δt之比的极限：

[tex]v = f'(t_0 ) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{x^i (t_0  + \Delta t) - x^i (t_0 )}}{{\Delta t}}\delta _i  = \frac{{dx^i }}{{dt}}\delta _i [/tex]

为简化运算，上式使用了爱因斯坦求和约定，即重复出现的一对（上下）指标表示求和Σ.

但是，这样的定义依赖于欧式空间的线性结构。为了推广到一般的流形上去，我们必须给出另一种定义。我们假定读者已经熟悉流形的概念，不熟悉的可以看看我以前的拙作《现代微分几何的基本概念》。

设U为流形M上一个坐标邻域，p为U中一点。[tex]\varphi [/tex]为M到[tex]R^n[/tex] 的光滑映射，它将U映为[tex]\varphi (U) [/tex]，U中的p映为[tex]\varphi (U) [/tex]中的[tex]\varphi (p) [/tex]，坐标为[tex]x^i (t) [/tex]. f为M上的光滑函数，即f为M到R的光滑映射，则从[tex]\varphi (U) [/tex]到R存在复合映射[tex]f \circ \varphi ^{ - 1}[/tex] .

设γ: (- ε, ε) →M是光滑流形M中过[tex]x_0 [/tex]的一条光滑曲线，则从[tex] ( - \varepsilon ,\varepsilon ) [/tex]到R存在复合映射[tex]f \circ \gamma[/tex] ，于是曲线γ确定了一个映射：

[tex] v(f) = \frac{d}{{dt}}(f \circ \gamma (t)) = \frac{d}{{dt}}(f \circ \varphi ^{ - 1} (x^i (t))) [/tex]

[tex]= \left. {\frac{{\partial f \circ \varphi ^{ - 1} }}{{\partial x^i }}} \right|_{\varphi (x_0 )}  \cdot \frac{{dx^i }}{{dt}} = \frac{{dx^i }}{{dt}} \cdot \frac{\partial }{{\partial x^i }}(f) [/tex]

即[tex]v = \frac{{dx^i }}{{dt}} \cdot \frac{\partial }{{\partial x^i }} = v^i e_i [/tex]

这说明任意向量v均可表示为[tex]e_i  = \frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]的线性组合，故[tex]e_i  = \frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]构成v空间的一组基，称为自然坐标基底。而[tex]v^i  = \frac{{dx^i }}{{dt}}[/tex]就相当于曲线的切向量v在自然坐标基底下的分量。可见，对于微分流形而言，切向量就等同于方向导数。

流形上某一点的所有切向量的集合称为该点的切空间，流形上所有切向量的集合称为切向量场。

2.诱导映射

设[tex]\varphi [/tex]为流形M与N之间的映射，它将M中的x点映为N中的[tex]\varphi (x) [/tex]点； f为光滑函数（N到R的光滑映射），它将N中的[tex]\varphi (x) [/tex]点映为R上的[tex]f \circ \varphi (x) [/tex]点。则从x到[tex]f \circ \varphi (x) [/tex]点可以定义映射[tex]\varphi ^ *[/tex]  ，使得[tex]\varphi ^ * f (x) = f \circ \varphi (x) [/tex]，这样的映射[tex]\varphi ^ *[/tex]就称为诱导映射。

除了流形之间可以定义可微映射，流形的切空间之间也可以定义诱导映射。

设[tex]\varphi[/tex] 为流形M到N的映射，它将M中的x点映为N中的[tex]\varphi (x) [/tex]点；f为N到R的映射；M的切空间到N的切空间的映射为[tex]d\varphi (x) =\varphi _ *[/tex]，称为切映射，使得[tex]Y(f) = \varphi _ * (x) X(f) [/tex]，如何确定[tex]d\varphi =\varphi _ *[/tex] 的具体形式（用[tex]\varphi[/tex]表达）呢？可以这样想：N中[tex]\varphi (x) [/tex]经f映到R中一点，M中x经过[tex]f \circ \varphi (x) [/tex]也映到R中同一点（因为[tex]f \circ \varphi (x) [/tex]是[tex]\varphi (x) [/tex]与f的复合映射，其总效果是将x映到R），所以N的切向量Y作用到f上与M的切向量作用到[tex]f \circ \varphi (x) [/tex]上的效果是一样的，即[tex]Y(f) = X(f \circ \varphi ) [/tex].又[tex]Y(f) = \varphi _ * (x) X(f) [/tex]，故[tex]\varphi _ * (x) X(f) = X(f \circ \varphi (x)) [/tex]，由于[tex]\varphi ^ * f (x) = f \circ \varphi (x) [/tex]，故有[tex]\varphi _ * Xf = X\varphi ^ * f[/tex]，所以[tex]\varphi _ *[/tex]称为[tex]\varphi ^ *[/tex]的对偶映射。

类似于切映射，还可定义余切空间（切空间的对偶空间）之间的余切映射。

设[tex]\psi [/tex]为流形N到M的映射，它将N中y点映为M中的[tex]\psi (y) [/tex]点；g为M到R的映射；N的余切空间到M的余切空间的映射为[tex]\delta \psi (y) =\psi ^ * [/tex]，称为余切映射，使得[tex]\omega (g ) = \psi ^ *  (y) \theta (g) [/tex] ，如何确定[tex]\delta \psi =\psi ^ *[/tex]的具体形式（用[tex]\psi[/tex]表达）呢？可以这样想：M中[tex]\psi (y) [/tex] 经g映到R中一点，N中y经过[tex]g \circ \psi (y) [/tex]也映到R中同一点（因为[tex]g \circ \psi (y) [/tex]是[tex]\psi (y) [/tex]与g的复合映射，其总效果是将y映到R），所以M的余切向量ω作用到g上与N的余切向量θ作用到[tex]g \circ \psi (y) [/tex]上的效果是一样的，即[tex] \omega (g ) =\theta (g \circ \psi ) [/tex] . 又[tex] \omega (g )=  \psi ^ *(y) \theta (g) [/tex]，故[tex]\psi ^ *(y) \theta (g) =  \theta (g \circ \psi (y)) [/tex]，由于[tex]\psi _ * (g) =  g \circ \psi (y) [/tex]，故有[tex]\psi ^ * \theta g = \theta \psi _ * g[/tex] ，所以[tex]\psi ^ *[/tex]称为[tex]\psi _ *[/tex]的对偶映射。

下面讲主丛上的联络时会用到余切映射这个结果，即[tex]R_g^ *  \omega  = \omega (R_g )_ *[/tex] .

注意，虽然[tex]\varphi _ *[/tex]与[tex]\varphi ^ *[/tex] ，[tex]\psi ^ *[/tex]与[tex]\psi _ *[/tex]互为对偶映射，但[tex]\psi _ * \ne \varphi _ *[/tex] ，[tex]\psi ^ *   \ne \varphi ^ * [/tex]，因为[tex]\varphi _ *[/tex]与[tex]\varphi ^ *[/tex]作用在切空间（向量场）上，而[tex]\psi ^ *[/tex]与[tex]\psi _ *[/tex]作用在余切空间（微分形式）上。

3.微分形式

微分形式我们已经在《微分形式与同调论浅析》中介绍过了。这里只是补充一个重要公式

dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)- ω([X,Y])，这个公式在李群的嘉当结构方程及黎曼几何的嘉当结构方程的证明中都是关键的一步。

为证明这个公式，我们先证明另一个重要公式df(X)=X(f). 设流形上的向量场为[tex]X = a^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]，且[tex]dx^i [/tex]与[tex]\frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]互为对偶：

[tex] dx^i \left( {\frac{\partial }{{\partial x^j }}} \right) = \frac{{\partial x^i }}{{\partial x^j }} = \delta _j^i  [/tex]

[tex]\delta _j^i[/tex] 为克罗内克张量，当i=j时其值为1，当i与j不等时其值为零。

则

[tex] df(X) = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}dx^i (X) = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}dx^i \left( {a^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}} \right) [/tex]

[tex]= a^i \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}dx^i \left( {\frac{\partial }{{\partial x^i }}} \right) = a^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}f = X(f) [/tex]

有了这个公式，就可以给出dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)- ω([X,Y])了。设有一次形式ω=fdg，其中f，g为函数（零次微分形式），则

dω(X,Y)=d(fdg)(X,Y)=(dfΛdg-fddg)(X,Y)=(dfΛdg)(X,Y)=df(X)dg(Y)-dg(X)df(Y)

=(Xf)(Yg)-(Xg)(Yf)=X(f(Yg))-Y(f(Xg))=X(f(Yg))-Y(f(Xg))-f(XYg-YXg)

=X(fdg(Y))-Y(fdg(X))-fdg(XY-YX)= Xω(Y)-Yω(X)-ω([X,Y])

4.向量场的积分曲线

既然每一根曲线在每一点都有一个切向量，那么是否任意给定一个向量场，就有可能从某一点P开始作出一条曲线，使该曲线上任意一点的切向量就是此向量场在这一点的向量？回答是，对于[tex]C^1[/tex] 向量场，这是可以的，我们把这种曲线称为该向量场的积分曲线。

该向量场的分量是[tex]V^i (P) [/tex]，它是P的函数。在某一坐标系[tex]\{ x^i \} [/tex]中，有[tex]V^i (P) = v^i (x^j ) [/tex]它是参数为λ的曲线的切向量，即[tex]\frac{{dx^i }}{{d\lambda }} = v^i (x^j ) [/tex]，这正是[tex]x^i (\lambda ) [/tex]的一个一阶常微分方程组，它在初始点P的某个邻域中总存在一个唯一的解。因此，除[tex]V^i  = 0[/tex]的点，不同积分曲线的路径是不会相交的。由于在每一点P总有一条积分曲线通过，因此积分曲线遍布M.这种遍布流形的曲线集合称为一个“线汇”。有时也把曲线的这一集合看做流形本身。

二、李群

1.李群

设G是一个非空集合，如果G是一个群，并且G还是一个光滑流形，则称G是一个李群。可见，李群集代数、几何性质于一身。

物理系的群论课程一般都会讲到李群的代数性质，但很少讲李群的几何方面，因为量子力学、量子场论的问题差不多都能在群论的框架下解决，而不必牵涉几何学；相对论对几何学依赖性比较大，但又不牵涉到群论。总之，群论的几何方面被一部分物理学家忽视了。然而，根据克莱因的观点，几何学与变换群密不可分。实际上，纤维丛就是这样一个既涉及流形、又涉及群的结构。本文最终是要定义主纤维丛上的联络，那么自然要在群论的几何方面多洒点笔墨。我们先简单回顾李群的代数性质，然后详细讲讲李群与微分几何的联系。

2.李代数

化难为易，把李群线性化，即寻找一个有限维的线性空间来近似代替它，通过对这个线性空间的深入研究来窥见李群的性质，便成为数学家的一个心愿。李代数就是这样一个线性空间。为了给出李代数的概念，先要定义李括号。

给定一个坐标系x^i ，那么用[tex]\left\{ {\frac{\partial }{{\partial x^i }}} \right\}[/tex]作为向量场的基是很方便的。然而，向量场的任意线性无关集合都可以用来作基，并非所有基都能由坐标系得出。这是因为对所有的i和j，算子[tex]\frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]与算子[tex]\frac{\partial }{{\partial x^j }}[/tex]是可交换的，但对任意两个向量场却不一定可交换。例如，对

[tex]V = \frac{d}{{d\lambda }}[/tex]和[tex]U = \frac{d}{{d\mu }}[/tex]，有

[tex] \frac{d}{{d\lambda }}\frac{d}{{d\mu }} - \frac{d}{{d\mu }}\frac{d}{{d\lambda }} = V^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}U^j \frac{\partial }{{\partial x^j }} - U^j \frac{\partial }{{\partial x^j }}V^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]

[tex] = \left( {V^i \frac{{\partial U^j }}{{\partial x^i }} - U^i \frac{{\partial V^j }}{{\partial x^i }}} \right)\frac{\partial }{{\partial x^j }} [/tex]

所以，换位子（李括号）

[tex]\left[ {\frac{d}{{d\lambda }}} \right.,\left. {\frac{d}{{d\mu }}} \right] = \frac{d}{{d\lambda }}\frac{d}{{d\mu }} - \frac{d}{{d\mu }}\frac{d}{{d\lambda }}[/tex]

是一个非零向量场，它的分量一般不是零。

容易验证，李括号满足线性[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]，反对易性[X,Y]+[Y,X]=0和雅克比恒等式[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0，故向量场关于李括号构成了一个李代数。李代数构成了量子力学的基础，例如角动量问题可以归结为求解SO(3)或SU(2)的李代数方程。一般的群论书在这方面讲的很详细，而且也很好理解，所以我就不再赘述了。下面开始讨论李群的几何方面。

3.李导数

在正式引出李群对几何的作用之前，先看看李群是怎么进入几何学的。

向量场的积分曲线汇给出了此流形到其自身中的一个自然映射。如果λ是这些曲线的参数，则任意足够小的数Δλ定义了一个映射，它把每一点映成线汇中同一根曲线上参数再增加Δλ的那一点。这种映射称为沿该线汇的一个“拉曳”。

有了拉曳的概念就使我们能沿着线汇定义导数。定义向量场和张量场导数的任何努力都有一个内在的困难.考虑一下，如果把向量场的导数定义为:不同点的向量之间的差除以这两点之间的距离，再取极限，那问题之一是如何去定义点之间的“距离”.如果这两点都在一根曲线上的话，则我们可以把这段距离取为这两点的参数值之间的差.(这就给出关于参数的导数，而在没有度规的流形上，能做到的就是这一点了.)更严重的问题是对不同点的向量的比较:不同点的两个向量“平行”与否，在欧几里得平面中，这是一个容易回答的简单问题.在弯曲的曲面上这一问题可能没有唯一的答案.在一个简单的可微流形上，在不同点的平行问题甚至是没有意义的，因为此时不存在标志或标尺，用以平行地移动向量.为了定义绝对平行，此时必须在流形上附加其他的结构，即所谓仿射联络，我们下面讲黎曼几何时再来研究这个问题.在这里我们将考虑另一种方法，它在线汇起主要作用的那些问题中是可用的.线汇本身能代替不同点平行的概念.也即当要比较同一曲线上位于点λ和λ+Δλ处得向量时，我们就可以把在λ+Δλ处得向量拉曳到λ处，这就在λ处定义了一个新向量，从λ处得原向量减去这个新向量就定义了两者之差。首先考虑一个标量函数f，求它在λ+Δλ的值，拉回到λ点，减去该标量函数在λ点的值，除以Δλ，并取极限Δλ→0.通过拉回映射我们定义了一个新标架场f*，它的值由df*/dλ=0定义，所以它在λ处的值与λ+Δλ处得值是一样的，即f*(λ)=f(λ+Δλ).于是Lv(f)=lim[f*(λ)-f(λ)]/ Δλ=lim[f(λ+Δλ)-f(λ)]=df/dλ.我们把Lv(f)称为f的李导数。

任意向量场由曲线的线汇所定义。设有两个线汇μ和λ，在d/dλ映射下，μ线汇的任意曲线映为一根新曲线，它是原来曲线上各点在李拉曳下的象构成的新点的集合，所形成的曲线就定义了参数为[tex]\mu _{\Delta \lambda }^ * [/tex] 的一个新的线汇，这个新线汇的切向量场为

[tex]\frac{d}{{d\mu _{\Delta \lambda }^ *  }}[/tex]，称为d/dμ在李拉曳下的象。

向量场是用其对函数的作用来定义的。所以场U=d/dμ在[tex]\lambda _0[/tex] 处给出导数

[tex]\left. {\frac{{df}}{{d\mu }}} \right|_{\lambda _0 }[/tex] ，在[tex]\lambda _0  + \Delta \lambda [/tex]处给出导数[tex]\left. {\frac{{df}}{{d\mu }}} \right|_{\lambda _0  + \Delta \lambda }[/tex] ，将其拉曳[tex]U(\lambda _0  + \Delta \lambda ) [/tex]，得新场U*=d/dμ*，则

[tex] (L_V U)f = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \lambda  \to 0} \frac{{U^ *  (\lambda _0 ) - U(\lambda )}}{{\Delta \lambda }}f = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \lambda  \to 0} \frac{{\left( {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}f} \right)_{\lambda _0 }  - \left( {\frac{d}{{d\mu }}f} \right)_{\lambda _0 } }}{{\Delta \lambda }}[/tex]

由[U*,V]=0及[tex]U^ *  (\lambda _0  + \Delta \lambda ) = U(\lambda _0  + \Delta \lambda ) [/tex]可得

[tex]\frac{d}{{d\lambda }}\frac{d}{{d\mu ^ *  }}f = \frac{d}{{d\mu ^ *  }}\frac{d}{{d\lambda }}f [/tex]

及

[tex]\left( {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}f} \right)_{\lambda _0  + \Delta \lambda }  = \left( {\frac{d}{{d\mu }}f} \right)_{\lambda _0  + \Delta \lambda } [/tex]

则

[tex]\left( {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}f} \right)_{\lambda _0 }  = \left( {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}f} \right)_{\lambda _0  + \Delta \lambda }  - \Delta \lambda \left[ {\frac{d}{{d\lambda }}\left( {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}f} \right)} \right]_{\lambda _0 }  + o(\Delta \lambda ^2 ) [/tex]

[tex]\approx \left( {\frac{d}{{d\mu }}f} \right)_{\lambda _0  + \Delta \lambda }  - \Delta \lambda \left[ {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}\left( {\frac{d}{{d\lambda }}f} \right)} \right]_{\lambda _0 } [/tex]

[tex]= \left( {\frac{d}{{d\mu }}f} \right)_{\lambda _0 }  + \Delta \lambda \left[ {\frac{d}{{d\lambda }}\left( {\frac{d}{{d\mu }}f} \right)} \right]_{\lambda _0 }  - \Delta \lambda \left[ {\frac{d}{{d\mu ^ *  }}\left( {\frac{d}{{d\lambda }}f} \right)} \right]_{\lambda _0 }  [/tex]

于是

[tex](L_V U)f = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \lambda  \to 0} \left( {\frac{d}{{d\lambda }}\frac{d}{{d\mu }}f - \frac{d}{{d\mu ^ *  }}\frac{d}{{d\lambda }}f} \right) [/tex]

由于μ*与μ只差Δλ的一次项，故可用d/dμ代替d/dμ*，于是

[tex](L_V U) = \frac{d}{{d\lambda }}\frac{d}{{d\mu }} - \frac{d}{{d\mu }}\frac{d}{{d\lambda }} = [V,U] [/tex]

即两个向量场的李导数就是它们的李括号。而李括号构成李代数，所以李导数诱导了李代数。

4.李氏变换群

下面开始讨论李群对几何的作用。

设M是一个m维光滑流形，G是r维李群。若θ：M×G→M是光滑映射，记为θ(x,g)=x·g，使得对M中任意点x和G中任意元素g，h满足x·e=x，(x·g)·h=x·(g·h)，则称G是右作用在M上的李氏变换群。类似地，若σ：G×M→M为σ(g,x)=g·x，满足e·x=x，g·(h·x)=(g·h)·x，则称G是左作用在M上的李氏变换群。

设G是右作用在M上的李氏变换群，若对G中任意一个非单位元素g，都有M中一点x，使得x·g≠x，则称G在M上的作用是有效的。特别地，若该变换为光滑同胚，则称G在M上的作用是自由的（或称G在M上的作用没有不动点）。

设G是左作用在M上的李氏变换群，若对于M中任意两点x，y，必有G中一个元素g使得y=g·x，则称G在M上的作用是可迁的。此时称M为齐性空间。令H={g ，满足 g·x=x}，则H为G的闭子群，称为变换群G关于基点x的迷向群（亦称各向同性群）。

如果上述x不是M中的点，而是G中的元素，则把上述σ(g,x) 写成Lg（x），把θ(x,g)写成Rg（x），即Lg（x）=g·x ， Rg（x）=x·g.由于Lg和Rg都是G到自身的光滑映射，由于[tex]L_g  \circ L_{g^{ - 1} }  = L_{g^{ - 1} }  \circ L_g  = id[/tex]，其中id为恒等映射，故[tex]L_{g^{ - 1} }  = (L_g )^{ - 1}[/tex] .同理[tex]R_{g^{ - 1} }  = (R_g )^{ - 1}[/tex].这意味着Lg和Rg有光滑的逆映射，故Lg和Rg为光滑同胚，分别称为李群G上的左移动和右移动。

设X为光滑切向量场中的一个切向量，若对G中任意g都有[tex] (L_g )_ *  X = X[/tex]，则称X为李群G上的左不变向量场。在r为李群上全体左不变向量场构成一个r维向量空间，该空间中李括号是封闭的（即若X和Y为该空间的左不变向量场，则[X,Y]也是该空间的左不变向量场），因此该空间构成一个r维李代数，称为李群G的李代数。具体说来，设[tex]\{ X_r \} [/tex]为该空间的一组基，[tex]X_i[/tex]与[tex]X_j[/tex]为该空间中任意两个左不变向量场，则[tex] [X_i ,X_j ] [/tex]仍是该空间的左不变向量场，故可以表示成该空间中另一左不变向量场[tex]X_k[/tex]的线性组合，即[tex] [X_i ,X_j ] = C_{ij}^k X_k[/tex] ，这就是著名的结构方程，其中，组合的系数[tex]C_{ij}^k[/tex]称为李群的结构常数。我们利用李群定义了左移动，进而定义了左不变向量场，所以说李氏变换群诱导了左不变向量场；左移动就像前面定义李导数时所引入的李拉曳一样，所有的李拉曳变换构成一个变换群，即李氏变换群。由此可见，变换群诱导了向量场，向量场生成了变换群。

设U是光滑流形M的一个开子集，若在U上每一点p都指定切空间TpM的一个h维子空间[tex]L^h(p) [/tex]，则称[tex]L^h[/tex]为U上的一个h维分布。如果属于该分布的任意两个切向量场[tex]X_i[/tex]与[tex]X_j[/tex]的李括号[tex] [X_i ,X_j ] [/tex]仍属于该分布，即[tex] [X_i ,X_j ] = C_{ij}^k X_k[/tex]，则称该分布是完全可积的。这就是著名的弗罗本尼斯定理，它给出了常微分方程组完全可积的条件（事实上，李群的基本理论就是Lie研究微分方程时给出的，但本文主要讨论李群与微分几何的关系，故不详细展开李群与微分方程的关系，感兴趣的读者可参阅相关书籍）。

我曾在《微分形式与同调论浅析》中介绍过微分形式，并且上面还补充了一个公式dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)- ω([X,Y]). 现在，我们就用它研究李群和黎曼几何。这一节先讨论李群上的微分形式，黎曼几何的微分形式在下面讲到活动标架法时再介绍。设ω为李群流形G上的一次微分形式，若(Lg)* ω=ω，则称ω为李群G上的左不变一次微分形式。与[tex] (L_g )_ *  X = X[/tex]联立，可得

[tex] (\omega (X))g = \omega (g)X(g) = \omega (g)(L_g )_ *  X(e) [/tex]

[tex]= (L_g )^ *  \omega (g)X(e) = \omega (e)X(e) = (\omega (X))e = const[/tex]

即ω（X）是G上的常值函数（下面讲纤维丛上联络的曲率时会用到这一结果）。

若ω为1次微分形式，则dω为2次微分形式。一般地，1次微分形式可写为ω=f（x）dx，2次微分形式可写为[tex]d\omega  = f_{ij} (x)dx^i  \wedge dx^j [/tex].由外积的特点αΛβ= —βΛα，可以对上式进行反对称化，即

[tex]d\omega  = \frac{1}{2}f_{ij} (x)dx^i  \wedge dx^j  + \frac{1}{2}f_{ji} (x)dx^j  \wedge dx^i [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}(f_{ij} (x) - f_{ji} (x))dx^i  \wedge dx^j  [/tex]

设[tex]\gamma _{ij}  = f_{ij}  - f_{ji}[/tex] ，[tex]\omega ^i  = dx^i[/tex] ，[tex]\omega ^j  = dx^j[/tex] ，则上式可简化为[tex]d\omega  = \frac{1}{2}\gamma _{ij} \omega ^i  \wedge \omega ^j[/tex] . 将dω用格拉斯曼空间Λ*(M)的基矢[tex]\omega ^k[/tex]表示，即[tex]d\omega ^k  = \frac{1}{2}\gamma _{ij}^k \omega ^i  \wedge \omega ^j [/tex]

设[tex]X_i [/tex]为Λ(M)的一组基，由于ω(X) 与ω(Y)为常数0或1（克罗内克δ张量），故公式dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)- ω([X,Y])简化为dω(X,Y)+ω([X,Y])=0

由于

[tex]d\omega ^k (X_s ,X_t ) = \frac{1}{2}\gamma _{ij}^k \omega ^i  \wedge \omega ^j (X_s ,X_t ) [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}\gamma _{ij}^k ({\omega ^i (X_s )} {\omega ^j (X_t )}- {\omega ^i (X_t )}

   {\omega ^j (X_s )}) [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}\gamma _{ij}^k ({\delta _s^i } {\delta _t^j }- {\delta _t^i } {\delta _s^j } )[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}(\gamma _{st}^k  - \gamma _{ts}^k ) = \gamma _{st}^k [/tex]

而[tex]\omega ^k ([X_s ,X_t ]) = \omega ^k (c_{st}^i X_i ) = c_{st}^i \omega ^k (X_i ) = c_{st}^i \delta _i^k  = c_{st}^k [/tex]

于是[tex]d\omega ^k  = \frac{1}{2}\gamma _{ij}^k \omega ^i  \wedge \omega ^j[/tex]成为[tex]d\omega ^k  = \frac{1}{2}c_{ij}^k \omega ^i  \wedge \omega ^j [/tex]

这就是著名的嘉当结构方程。这是李群的嘉当结构方程，后面我们还会谈到黎曼几何的嘉当结构方程、纤维丛的嘉当结构方程。

5.单参数变换群

假定我们有一个解析流形，同时假定向量场V=d/dλ的积分曲线上点的坐标为[tex]x^i (\lambda ) [/tex]为λ的解析函数。于是，参数为λ和λ+ε的两个点的坐标由泰勒级数相联系：

[tex]x^i (\lambda  + \varepsilon ) = x^i (\lambda ) + \varepsilon \left( {\frac{{dx^i }}{{d\lambda }}} \right) + \frac{1}{{2!}}\varepsilon ^2 \left( {\frac{{d^2 x^i }}{{d\lambda ^2 }}} \right) +  \cdots [/tex]

[tex]= (1 + \varepsilon \frac{d}{{d\lambda }} + \frac{1}{2}\varepsilon ^2 \frac{{d^2 }}{{d\lambda ^2 }} +  \cdots )x^i  = \exp \left( {\varepsilon \frac{d}{{d\lambda }}} \right)x^i [/tex]

所以，通过指数运算exp(εV )，我们把[tex]x^i (\lambda ) [/tex]点映射为[tex]x^i (\lambda  + \varepsilon ) [/tex]点。εV是沿V的积分曲线的无穷小运动，它的指数运算exp(εV )给出一个有限转动。这与我们在高等量子力学中讨论有限转动算符的方法是一样的（参见：席夫《量子力学》，方励之 译）。

考察过e的左不变向量场V的积分曲线，它在e处有唯一的切向量Ve，并且有唯一的参数t，当t=0对应e. 曲线上的点可用V的指数映射exp(tV)来定位。这正好包含由向量场V生成的变换群G到自身的微分同胚。不像一般的向量场，V完全由Ve确定，因此我们把G在此曲线上的点用[tex]g_{V_e } (t) = \exp (tV) [/tex]表示。根据指数运算性质[tex]\exp (t_2 V)\exp (t_1 V) = \exp [(t_1  + t_2 )V] [/tex]，所以在这些积分曲线上的点构成一个群：

[tex] g_{V_e } (t_1  + t_2 ) = \left. {\exp [(t_1  + t_2 )V]} \right|_e [/tex]

[tex] = \left. {\exp (t_2 V)\exp (t_1 V)} \right|_e  = g_{V_e } (t_2 )g_{V_e } (t_1 ) [/tex]

这个群就称为G的单参数子群。这很简单，因为指数化乘为加，群乘法相当于参数值的加法。切空间中每一个向量都有唯一的一个子群；而且，因为每一个单参数子群都是G中通过e（子群总包括单位元素）的一根光滑曲线，所以在G的单参数子群与G的李代数元素之间有一个一一对应。

6.李群的伴随表示

李群和李代数的表示论已经成为一个非常深刻的专门理论，它在李群、李代数的结构理论，齐性空间、对称空间上的调和分析，泛函分析，微分几何以及物理学等各个方面有着广泛的应用，这里我们只介绍李群及其李代数的一种自然的、因而十分重要的表示，称为伴随表示，其表示空间是李群的李代数本身，它在我们下面定义纤维丛上的联络时起着关键的作用。

对于G中任意的g、h，定义映射ad（g）：G→G如下：[tex]ad_g (h) = ghg^{ - 1}[/tex] 即

[tex]ad_g  = L_g R_{g^{ - 1} }[/tex] 由此不难想到，当把g换成[tex]g^{ - 1}[/tex] 时，就有

[tex]ad_{g^{ - 1} } (h) = g^{ - 1} hg = L_{g^{ - 1} } R_g (h) [/tex]

我们已经定义了Lg*ω=ω，很自然的问题便是，Rg*ω=？这就是我们在引入主丛联络时要讲的。实际上，它就是ω的伴随表示[tex]g^{ - 1} \omega g[/tex]，即[tex]R_g^ *  \omega  = Ad_{g^{ - 1} } \omega[/tex] .这不难理解，如果ω与g可交换，那么[tex]g^{ - 1} \omega g[/tex]就变成[tex]g^{ - 1} g\omega  = \omega [/tex]，于是Rg*ω=ω.另一方面，联立Lg*ω=ω与[tex]R_g^ *  \omega  = Ad_{g^{ - 1} } \omega [/tex]，可得[tex]R_g^ *  \omega  = Ad_{g^{ - 1} } L_g^ *  \omega  = R_g L_{g^{ - 1} } L_g^ *  \omega[/tex] ，由ω任意性知[tex]R_g^ *   = R_g L_{g^{ - 1} } L_g^ *[/tex]  ，再利用[tex]L_{g^{ - 1} }  = (L_g )^{ - 1} [/tex]就得到[tex]R_g^ *  L_g  = R_g L_g^ * [/tex] ，这个有点像厄米算符<Fφ, ψ>=<φ,Fψ>，其中*就相当于F，而φ、ψ分别类似于R、L. 当然，由上式也可以导出[tex]R_g^ *  R_{g^{ - 1} }  = L_g^ *  L_{g^{ - 1} }[/tex] .

如果说满足Lg*ω=ω的ω为左不变微分形式，那么满足Rg*ω=ω的ω就可以叫做右不变微分形式。同时满足左不变和右不变的ω就可以称为双不变微分形式。呵呵，上帝是个左撇子，对左不变比较偏爱，所以历史上并不曾有人定义右不变向量场和右不变微分形式，虽然有人定义了双不变，但那是指李群的双不变黎曼度量，即[tex]g_{xy} ((L_x )_ *  X_y ,(L_x )_ *  Y_y ) = g_y (X_y ,Y_y ) [/tex]，[tex]g_{xy} ((R_y )_ *  X_x ,(R_y )_ *  Y_x ) = g_y (X_x ,Y_x ) [/tex]，而不是双不变微分形式。

设F是李群（流形）M到李群（流形）N的同态（映射），满足[tex]F_g (h) = ghg^{ - 1} [/tex]，则对于M的单参数子群exp（tX），有F（exp（tX））=exp（tY）；根据前面关于切映射的讨论，N的切向量场Y与M的切向量场X之间满足Y=dF（X），故F（exp（tX））=exp（tY）= exp（tdF（X））.切映射是一种普遍的情形，当我们从一般到特殊时，dF就变成Ad.设d（Ad）记作ad，即ad=F，由此可证明（参见黄宣国《李群基础》），adX（Y）=[X,Y]，ad[X,Y](Z)=[adX,adY](Z).即利用指数映射，通过伴随表示给出了李括号。我们前面曾利用李拉曳，通过李导数给出了李括号。实际上，还可以通过单参数变换群定义李导数（或通过单参数变换群定义伴随表示）来给出李括号（参见陈维桓《微分流形初步》）。这些不同的定义是等价的，因为李拉曳是一种特殊的指数映射，而指数映射生成了单参数变换群，伴随表示又是通过左右移动定义的。数学家要细致研究各种定义，物理学家只要掌握一种定义就够了，所以这里就不再赘述了。

唉，一个通宵就写了这么点，太累了，剩下的下午再写吧。先把提纲列出来：

三、黎曼几何

弯曲空间中最重要的概念是曲率，要给出曲率必须先定义导数。但是，我们通常熟悉的长度、角度等与度规有关的几何概念，在流形中是没有的，它们不是流形的内禀性质，也不可能在流形的微分结构中自然产生。要定义导数，必须在流形上附加新的结构。前面定义的李导数是一种附加结构（线汇），这里我们给出另一种附加结构——联络。确切地说，就是通过曲面上的平行移动定义列维-奇维塔联络。弯曲空间的平行移动和列维-奇维塔联络在拙作《现代微分几何的基本概念》中已经介绍过了，这里不再重复。这里来讲讲比较现代的活动标架法和公理化方法。当然，为了照顾初学者，让我们从欧式空间的曲线坐标讲起。这是通常张量分析的内容，熟悉张量分析（主要是张量的协变导数）的读者可以跳过曲线坐标这一节，直接进入活动标架法。

1.曲线坐标

假定在欧式空间[tex]E^n[/tex] 中取定单位正交标架[tex]\{ O;\delta _i \}[/tex] ，相应直角坐标为[tex] (x^1 , \cdots ,x^n ) [/tex]，U为该欧式空间的开集，局部坐标为[tex] (u^1 , \cdots ,u^n ). [/tex] 若[tex]\gamma :U \to V \subset E^n[/tex] 是光滑同胚，即它在区域V上给出曲线坐标系[tex] (u^1 , \cdots ,u^n ) [/tex]，坐标变换为

[tex]x^i  = f^i (u^1 , \cdots ,u^n ) [/tex]. 则[tex]u^i[/tex] 曲线（[tex]u^i[/tex]变动，i≠j的[tex]u^j[/tex]固定不动所得的曲线）的切向量是[tex]r_i  = \frac{{\partial r}}{{\partial u^i }}[/tex]，V中任意一点Q处得切向量[tex]r_1 , \cdots r_n[/tex] 是线性无关的，因而[tex]\{ Q;r_i \}[/tex] 是欧式空间中Q点的一个标架，称为曲线坐标系诱导的自然标架。

因为在不同点的自然标架不是互相平行的，所以计算它从一点过渡到邻近点的变差就很重要，特别是自然标架场沿坐标曲线的微商。设v，w是定义在区域V上的两个向量场，用自然标架表示为[tex]v = v^i r_i [/tex]，注意到切向量[tex]r_i[/tex]是[tex]u^1 , \cdots ,u^n[/tex]的函数，它关于[tex]u^l [/tex]的导数仍是区域V上的向量场，因而可以看做V上向量r_k的线性组合，即[tex]\frac{{\partial r_i }}{{\partial u^l }} = \Gamma _{il}^k r_k [/tex]. 于是

[tex]\frac{{dv}}{{du^l }} = \frac{{\partial v^i }}{{\partial u^l }}r_i  + v^i \frac{{\partial r_i }}{{\partial u^l }} = \frac{{\partial v^i }}{{\partial u^l }}r_i  + v^i \Gamma _{il}^k r_k  = \left( {\frac{{\partial v^i }}{{\partial u^l }} + v^k \Gamma _{kl}^i } \right)r_i [/tex]

即

[tex]dv = \left( {\frac{{\partial v^i }}{{\partial u^l }}du^l  + v^k \Gamma _{kl}^i du^l } \right)r_i  = \left( {dv^i  + v^k \Gamma _{kl}^i du^l } \right)r_i [/tex]

设l(t)为一条光滑曲线，t为该曲线的参数（当该参数t选为弧长s时，该曲线就称为测地线）。设l(t)上每点的切向量为[tex]U = \frac{{du^i }}{{dt}}\frac{\partial }{{\partial u^i }} = \frac{{du^i }}{{dt}}r_i[/tex] ，沿曲线l(t)的向量场记为[tex]v(t) = v^i (t)r_i  = v^i (t)\frac{\partial }{{\partial u^i }} [/tex]，则

[tex]\frac{{dv}}{{dt}} = \left( {\frac{{dv^i }}{{dt}} + v^k \Gamma _{kl}^i \frac{{du^l }}{{dt}}} \right)\frac{\partial }{{\partial u^i }}[/tex]

如果[tex]\frac{{dv}}{{dt}} = 0 [/tex]，就称为向量沿曲线的平行移动。

将参数t改成弧长s，此时平行移动的方程称为测地线方程。上述方程可以写成

[tex]\left( {i\frac{d}{{dt}} + i\Gamma _{il}^k \frac{{du^l }}{{dt}}} \right)v^i  = 0[/tex]

有点像薛定谔方程[tex]\left( {i\frac{\partial }{{\partial t}} - H} \right)\Psi  = 0[/tex]

有人说薛定谔方程是一种特殊的测地线方程，但各项的物理意义是什么我不清楚。尤其是，为什么哈密顿量为[tex]H =  - i\Gamma _{il}^k \frac{{du^l }}{{dt}} [/tex]？

我们讨论了半天[tex]\Gamma _{il}^k[/tex]，还不知[tex]\Gamma _{il}^k[/tex]的具体形式。下面我们就试着求出[tex]\Gamma _{il}^k[/tex]的显示表达式。设w是定义在区域V上的另一个向量场，用自然标架表示为[tex]w = w^i r_i[/tex] ，那么v和w的内积为[tex] < v,w >  = g _{ij} v^i w^j [/tex]，其中[tex]g _{ij}  =  < r_i , r_ j  >[/tex] . 于是[tex] < \frac{{\partial r_i }}{{\partial u^l }}, r_ j  >  = \Gamma _{il}^k g _{kj}[/tex] . 于是

[tex]\frac{{\partial g_{ij} }}{{\partial u^l }} =  < \frac{{\partial r_i }}{{\partial u^l }},r_ j  >  +  < r_i ,\frac{{\partial r_ j }}{{\partial u^l }} >  = \Gamma _{il}^k g _{kj}  + \Gamma _{jl}^k g _{ki} [/tex]

同理可得[tex]\frac{{\partial g_{jl} }}{{\partial u^i }}[/tex]和[tex]\frac{{\partial g _{il} }}{{\partial u^j }}[/tex].

假定二阶混合偏导与次序无关，即

[tex]\frac{{\partial r_i }}{{\partial u^l }} = \frac{{\partial r_l }}{{\partial u^i }} = \frac{{\partial ^2 r}}{{\partial u^i \partial u^l }}[/tex]，则[tex]< \frac{{\partial r_i }}{{\partial u^l }}, r_ j  >  =  < \frac{{\partial r_l }}{{\partial u^i }}, r_ j  >[/tex] ，即[tex]\Gamma _{il}^k  = \Gamma _{li}^k[/tex] .

由此可推导出

[tex]\frac{{\partial g_{ij} }}{{\partial u^l }} + \frac{{\partial g_{jl} }}{{\partial u^i }} - \frac{{\partial g_{il} }}{{\partial u^j }} = 2\Gamma _{il}^k g_{kj}[/tex]

令[tex]g^{kj}  = (g_{kj} )^{ - 1}[/tex] ，则

[tex]\Gamma _{il}^k  = \frac{1}{2}g^{kj} \left( {\frac{{\partial g_{ij} }}{{\partial u^l }} + \frac{{\partial g_{jl} }}{{\partial u^i }} - \frac{{\partial g_{il} }}{{\partial u^j }}} \right) [/tex]

我们把[tex]\Gamma _{il}^k [/tex]称为克里斯托菲符号，它其实就是《现代微分几何的基本概念》中引入的联络系数。[tex]g _{i j}  =  < r_i , r_ j  >[/tex]称为黎曼度量，引入了黎曼度量的流形就称为黎曼流形，（古典）黎曼几何就是研究黎曼流形性质的几何学。从上面的讨论可见，联络系数是由黎曼度量定义的，称为由黎曼度量诱导的黎曼联络。

2.活动标架法

为了容易理解，在正式给出活动标架法之前，先看看大部分读者比较熟悉的仿射空间（定义了仿射坐标系，即斜角坐标系的欧式空间）上的微分形式。

设A³是一个3维仿射空间，它的一个标架是指A³中一点P及其与之相伴的向量空间（伴随向量空间）V的一个基底[tex]\{ e_1 ,e_2 ,e_3 \} [/tex]组成的复合体[tex]\{ P;e_1 ,e_2 ,e_3 \}[/tex] . A³中全体标架的集合记作[tex]{\tilde P}[/tex]. 根据仿射空间的定义，对于每一个[tex]e_i [/tex]，存在唯一的一点[tex]P_i [/tex]，使得[tex]\overrightarrow {PP_i }  = e_i [/tex]，所以标架[tex]\{ P;e_1 ,e_2 ,e_3 \}[/tex]可以看作A³中以P为顶点的三棱形[tex]P - P_1 P_2 P_3 [/tex].

在标架空间[tex]{\tilde P}[/tex]中取定一个元素[tex]\{ O;\delta _1 ,\delta _2 ,\delta _3 \} [/tex]，则A³中任意一个标架[tex]\{ P;e_1 ,e_2 ,e_3 \}[/tex] 可表示为：

[tex]\overrightarrow {OP}  = a^1 \delta _1  + a^2 \delta _2  + a^3 \delta _3 [/tex]

[tex] e_1  = a_1^1 \delta _1  + a_1^2 \delta _2  + a_1^3 \delta _3  [/tex]

[tex] e_2  = a_2^1 \delta _1  + a_2^2 \delta _2  + a_2^3 \delta _3  [/tex]

[tex] e_3  = a_3^1 \delta _1  + a_3^2 \delta _2  + a_3^3 \delta _3  [/tex]

横看成岭侧成峰。从标架空间[tex]{\tilde P}[/tex]看，dP，[tex]de_1 ,de_2 ,de_3 [/tex]无非是[tex]da^i ,da_i^j [/tex]，它们给出[tex]{\tilde P}[/tex]上余切标架场；但从仿射空间A³角度看，dP，[tex]de_1 ,de_2 ,de_3[/tex]是A³中的切向量，它们能用基底[tex]\{ e_1 ,e_2 ,e_3 \} [/tex]表示出来：

[tex]dP = \omega ^1 e_1  + \omega ^2 e_2  + \omega ^3 e_3 [/tex]

[tex] de_1  = \omega _1^1 e_1  + \omega _1^2 e_2  + \omega _1^3 e_3 [/tex]

[tex] de_2  = \omega _2^1 e_1  + \omega _2^2 e_2  + \omega _2^3 e_3 [/tex]

[tex] de_3  = \omega _3^1 e_1  + \omega _3^2 e_2  + \omega _3^3 e_3 [/tex]

即[tex]dP = \omega ^i e_i[/tex] ，[tex]de_i  = \omega _i^j e_j[/tex] ，其中ω是[tex]{\tilde P}[/tex]上的一次微分形式。

对上式求外微分，得

[tex]d(dP) = d(\omega ^i e_i ) = d\omega ^i  \wedge e_i  + ( - 1)^1 \omega ^i  \wedge de_i [/tex]

[tex]= d\omega ^i  \wedge e_i  - \omega ^i  \wedge \omega _i^j e_j  = (d\omega ^i  - \omega ^j  \wedge \omega _j^i )e_i [/tex]

[tex]d(de_i ) = d(\omega _i^j e_j ) = d\omega _i^j  \wedge e_j  - \omega _i^j  \wedge de_j [/tex]

 [tex]= d\omega _i^j  \wedge e_j  - \omega _i^j  \wedge \omega _j^k e_k  = (d\omega _i^j  - \omega _i^k  \wedge \omega _k^j )e_j [/tex]

由于[tex]ddP = dde_i  = 0[/tex]，故上式成为

[tex]d\omega ^i  - \omega ^j  \wedge \omega _j^i  = 0 [/tex]

[tex] d\omega _i^j  - \omega _i^k  \wedge \omega _k^j  = 0 [/tex]

这就是仿射空间的结构方程。

考虑曲线坐标[tex] (u^1 ,u^2 ,u^3 ) [/tex]，[tex]r = \overrightarrow {OP}  = a^i (u^1 ,u^2 ,u^3 )\delta _i [/tex]，令

[tex]r_i  = \frac{{\partial r}}{{\partial u^i }}[/tex]，[tex]dr = r_i du^i [/tex]，前面讲曲线坐标时已经推出

[tex]\frac{{\partial r_i }}{{\partial u^j }} = \Gamma _{ij}^k r_k [/tex]，故[tex]dr_i  = \Gamma _{ij}^k du^j r_k[/tex] . 与[tex]dP = \omega ^i e_i [/tex]及[tex]de_i  = \omega _i^j e_j [/tex]相比，可令[tex]\omega ^i  = du^i [/tex]，

[tex]\omega _i^k  = \Gamma _{ij}^k du^j [/tex]. 根据前面在微分形式中所讲的反对称化，有

[tex]d\omega ^i  - \omega ^j  \wedge \omega _j^i  =  - \Gamma _{jk}^i du^j  \wedge du^k  = \frac{1}{2}(\Gamma _{kj}^i  - \Gamma _{jk}^i )du^j  \wedge du^k [/tex]

[tex]d\omega _i^j  - \omega _i^k  \wedge \omega _k^j  = \frac{{\partial \Gamma _{ik}^j }}{{\partial u^l }}du^l  \wedge du^k  - \Gamma _{ik}^h \Gamma _{hl}^j du^k  \wedge du^l [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial \Gamma _{ik}^j }}{{\partial u^l }} - \frac{{\partial \Gamma _{il}^j }}{{\partial u^k }} + \Gamma _{ik}^h \Gamma _{hl}^j  - \Gamma _{il}^h \Gamma _{hk}^j } \right)du^l  \wedge du^k [/tex]

定义

[tex]T_{jk}^i = \Gamma _{kj}^i  - \Gamma _{jk}^i [/tex]

[tex]R_{jkl}^i = \frac{{\partial \Gamma _{ik}^j }}{{\partial u^l }} - \frac{{\partial \Gamma _{il}^j }}{{\partial u^k }} + \Gamma _{ik}^h \Gamma _{hl}^j  - \Gamma _{il}^h \Gamma _{hk}^j [/tex]

[tex]T_{jk}^i[/tex]和[tex]R_{jkl}^i[/tex]就是通常张量分析课程中所讲的挠率张量和曲率张量。

故

[tex]d\omega ^i  - \omega ^j  \wedge \omega _j^i  = 0 [/tex]

[tex] d\omega _i^j  - \omega _i^k  \wedge \omega _k^j  = 0 [/tex]

意味着挠率和曲率为零，这是平直空间的基本特征。对于弯曲空间，曲率一般不为零；并且，有时候挠率也不为零。与前面对曲线坐标的讨论对比可知，二阶混合偏导为零时联络是对称的，挠率为零。

推而广之，可以定义挠率形式和曲率形式为：

[tex]\Omega ^i  = d\omega ^i  - \omega ^j  \wedge \omega _j^i  = \frac{1}{2}T_{jk}^i \omega ^j  \wedge \omega ^k  [/tex]

[tex]\Omega _j^i  = d\omega _j^i  - \omega _j^k  \wedge \omega _k^i  = \frac{1}{2}R_{jkl}^i \omega ^k  \wedge \omega ^l [/tex]

利用前面证明的公式dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)- ω([X,Y])

及外积定义

[tex]\alpha  \wedge \beta (X,Y) = {\alpha (X)} {\beta (Y)}- {\alpha (Y)} {\beta (X)} [/tex]

设[tex]\nabla _{e_j } e_i  = \Gamma _{ij}^k e_k [/tex]，则在局部坐标下，上面定义的挠率和曲率形式化为：

[tex]\Omega ^i (e_m ,e_n ) = d\omega ^i  - \omega ^j  \wedge \omega _j^i  [/tex]

[tex]= d\omega ^i (e_m ,e_n ) - \omega ^j  \wedge \omega _j^i (e_m ,e_n )  [/tex]

[tex]= e_m (\omega ^i (e_n )) - e_n (\omega ^i (e_m )) - \omega ^i ([e_m ,e_n ]) [/tex]

[tex]- (\omega ^j (e_m )\omega _j^i (e_n ) - \omega ^j (e_n )\omega _j^i (e_m )) [/tex]

[tex]= e_m (\delta _n^i ) - e_n (\delta _m^i ) - \omega ^i ([e_m ,e_n ]) - \delta _m^j \Gamma _{jn}^i  + \delta _n^j \Gamma _{jm}^i [/tex]

[tex]=  - \omega ^i ([e_m ,e_n ]) - \Gamma _{mn}^i  + \Gamma _{nm}^i [/tex]

[tex]=  - \omega ^i [e_m ,e_n ] - \Gamma _{mn}^i \omega ^i (e_i ) + \Gamma _{nm}^i \omega ^i (e_i ) [/tex]

[tex]=  - \omega ^i ([e_m ,e_n ]) - \omega ^i (\Gamma _{mn}^i e_i ) + \omega ^i (\Gamma _{nm}^i e_i ) [/tex]

[tex] =  - \omega ^i ([e_m ,e_n ]) - \omega ^i (\nabla _{e_n } e_m ) + \omega ^i (\nabla _{e_m } e_n ) [/tex]

[tex]= \omega ^i (\nabla _{e_m } e_n  - \nabla _{e_n } e_m  - [e_m ,e_n ]) [/tex]

由此可定义[tex]T(e_m ,e_n ) = \nabla _{e_m } e_n  - \nabla _{e_n } e_m  - [e_m ,e_n ] [/tex]，使得

[tex]\omega ^i (T(e_m ,e_n )) = T_{mn}^i  = \Omega ^i (e_m ,e_n ) [/tex] ，这就是下面要讲的公理化定义。同样地，利用

[tex] \omega _j^i ([e_k ,e_l ])e_i  = \omega ^h ([e_k ,e_l ])\Gamma _{jh}^i e_i [/tex]

[tex]= \delta _{[k,l]}^h \Gamma _{jh}^i e_i  = \Gamma _{j[k,l]}^i e_i  = \nabla _{[e_k ,e_l ]} e_j [/tex]

则对于曲率形式有

[tex]\Omega _j^i (e_k ,e_l )e_i  = (d\omega _j^i  - \omega _j^h  \wedge \omega _h^i )(e_k ,e_l )e_i [/tex]

[tex]= (\nabla _{e_k } \nabla _{e_l }  - \nabla _{e_l } \nabla _{e_k }  - \nabla _{[e_k ,e_l ]} )e_j [/tex]

并定义[tex]R(e_k ,e_l ) = \nabla _{e_k } \nabla _{e_l }  - \nabla _{e_l } \nabla _{e_k }  - \nabla _{[e_k ,e_l ]} [/tex] .

3.公理化

前面已经提到，挠率和曲率可以不必依赖于空间的度量性质，而定义为

[tex]T(e_m ,e_n ) = \nabla _{e_m } e_n  - \nabla _{e_n } e_m  - [e_m ,e_n ] [/tex]

[tex]R(e_k ,e_l ) = \nabla _{e_k } \nabla _{e_l }  - \nabla _{e_l } \nabla _{e_k }  - \nabla _{[e_k ,e_l ]} [/tex]

事实上，按量子力学的看法，所有算子都是一种变换，作用在一个函数上给出另一个函数。所以，曲率、挠率乃至协变导数等其实都可以定义为一种映射（集合之间的变换）。算子本身可以看做附加在流形上的一种结构，而不必要求这种结构是从黎曼度量张量诱导出来的。下面我们就来介绍公理化方法。

设M是一个光滑流形，若有一个映射▽，对于任意向量场X，Y，Z和函数f均有：

（1）[tex]\nabla _X (Y + Z) = \nabla _X Y + \nabla _X Z[/tex]

（2）[tex]\nabla _X (f \cdot Y) = f \cdot \nabla _X Y + X(f) \cdot Y[/tex]

（3）[tex]\nabla _{X + Y} Z = \nabla _X Z + \nabla _Y Z[/tex]

（4）[tex]\nabla _{f \cdot X} Y = f \cdot \nabla _X Y[/tex]

则称▽为光滑流形M上的一个联络。

之所以能公理化，是因为联络是不依赖于度量的；之所以要公理化，是为了运算简洁和符号美观。例如，设[tex]X = X^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]，[tex]Y = Y^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]，

[tex]\nabla _{\frac{\partial }{{\partial x^j }}} \frac{\partial }{{\partial x^i }} = \Gamma _{ij}^k \frac{\partial }{{\partial x^k }}[/tex]

则

[tex]\nabla _X Y = \nabla _{X^j \frac{\partial }{{\partial x^j }}} \left( {Y^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}} \right) = X^j \nabla _{\frac{\partial }{{\partial x^j }}} \left( {Y^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}} \right) [/tex]

[tex]= X^j \left( {\frac{{\partial Y_i }}{{\partial x^j }}\frac{\partial }{{\partial x^i }} + Y^i \Gamma _{ij}^k \frac{\partial }{{\partial x^k }}} \right) = X^j \left( {\frac{{\partial Y_i }}{{\partial x^j }} + Y^k \Gamma _{kj}^i } \right)\frac{\partial }{{\partial x^i }}[/tex]

这是黎曼几何最美的公式之一，要问如何三步写出测地线方程？呵呵，除此之外，别无捷径。

黎曼几何还有许多美丽的公式，比如：

挠率[tex]T(X,Y) = \nabla _X Y - \nabla _Y X - [X,Y] [/tex]或T=dθ-ω∧θ

曲率[tex]R(X,Y) = [\nabla _X ,\nabla _Y ] - \nabla _{[X,Y]} [/tex] 或R=dω-ω∧ω

黎曼几何基本定理[tex]X\left\langle {Y,Z} \right\rangle  = \left\langle {\nabla _X Y,Z} \right\rangle  + \left\langle {Y,\nabla _X Z} \right\rangle [/tex]

比安基恒等式R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0或R∧θ=0

▽R(X,Y,Z,W,T)+▽R(X,Y,W,T,Z)+▽R(X,Y,T,Z,W)=0或dR=ω∧R-R∧ω

4.爱因斯坦方程

下面我们简单介绍下爱因斯坦的引力场方程。我们已经定义了曲率张量，它是一个逆变指标（上标）和三个协变指标（下标）的四阶张量。利用协变黎曼度量张量（二阶），可以把上标降下来（逆变度量张量将下标升上去），得到四个协变指标的四阶张量。根据张量运算规律，如果有一对（一上一下）指标相同，则约定求和，为哑标。所以，逆变度量张量与曲率张量的协变指标有两对相同时，通过缩并（有的书称为求迹，即矩阵元之和）运算就可以将四阶曲率张量变成一个二阶的新张量，这个新张量称为里奇张量。用同样办法将里奇张量再缩并一次，就得到一个标量，称为曲率标量R. 用二阶逆变曲率张量R^(μυ)减去逆变度量张量g^(μυ)与曲率标量R之积的一半定义了一个二阶对称张量G^(μυ)，称为爱因斯坦张量。则G^(μυ)=KT^(μυ)就是引力场方程，其中K=-8πG/(c)^4为常数，T^(μυ)为能量动量张量。

如果粒子受到力的作用，则粒子运动的轨道就不是R³中的短程线了。更精确地说，如果我们坚持从平直空间的几何来看问题。则受力作用的粒子在该空间中就不是直线了.但是，我们也可从另一个角度来看问题，即把力几何化，认为现在空间不再是平直空间.而粒子运动轨道是这一新的几何中的短程线.

    略为认真考虑一下，我们就会发现，力的几何化使我们必须从3维几何转到4维的几何上去。这一点可以阐明如下:例如我们在地面上的同一地点、以同样的角度而两种不同的速率发射两颗子弹，它们在地球引力的作用下显然将沿不同的轨道运动.现在，我们试图把引力场几何化，而给予3维空间某种新的结构，这样做是否能使这两条轨道都是该3维几何学中的短程线呢?仔细分析一下。就可以知道这是不行的，这是因为上述两条不同的轨道。出发于同一点，且在该点有相同的切线，所以如果它们是该3维几何中的短程线，则它们将是重合的，这就矛盾了.因此这一问题的出路是把时间放到我们的几何中来。引力的几何化使这个4维空间有了一个弯曲的结构，即黎曼曲率张量不为零。而这两条轨道现在都是该4维儿何中的短程线。现在。这是可能的，因为这两颗子弹的初速度是不同的.在此4维空间中，在开始时刻也不再是相切的了。可以各自成为一条短程线.以上正是广义相对论的基本思想之一。

    把这种思想梢加引伸，我们也可以再考虑电磁力的几何化问题，举个简单的例子就会使我们看出解决问题的出路了.我们把上面的例子再扩展一些，假定地球是带正电的，那么在地球上同一点以同样速度发射各带正电和负电的两颗子弹，我们在R3中会得到两条不同的轨道。为了要使它们都是短程线，则原有的4维几何又待“改进了”.此时，我们要再加“电磁”这一维，才能使电磁力也几何化，这正是卡鲁扎-克莱因在本世纪二十年代提出引力和电磁力统一的理论思想，目前已成为一个广为研究的理论.我们下面就讨论它们的数学基础-一一纤维丛理论.

四、纤维丛

1.纤维丛

我们已经在《现代微分几何的基本概念》中介绍过切丛，即流形M与它在每一点的切空间T所构成的乘积流形TM. 下面我们介绍其他类型的纤维丛。

切空间是向量构成的集合，它的对偶空间称为余切空间，是由微分形式构成的集合。类似于切丛，可以把流形M与它的余切空间T*黏在一起定义，所得到的积流形T*M就称为余切丛。由于向量和微分形式都是张量的一种特殊情况（向量是具有一个上标的逆变张量，微分形式是具有一个下标的协变张量，一般的张量同时具有上下标），所以自然有张量丛的概念，而切丛和余切丛都是它的特例。

一般地，我们把上述积流形（即纤维丛）称为丛空间E（或全空间），M称为底流形（或底空间），而把切空间称为纤维型（或纤维空间）F. 由丛空间到底空间有投影映射（也称拉回映射）π，称为丛投影；由底空间到丛空间有推进映射s，并把满足复合映射π·s=id（id为恒等映射）的s称为纤维丛的截面。一般的纤维丛还包含结构群G，它作用于丛空间，从纤维上一点移到另一点，移动方法就是李群的左右移动。当纤维空间F为向量空间时，E就称为向量丛；当纤维空间F与结构群G相等（同构）时，E就称为主丛（为避免混淆，主丛记作P）；把流形M上x点的切空间的一组有序基称为M的一个标架，x点及其这些标架构成的集合称为M上的线性标架主丛，简称线丛，记作L(M)，其结构群为一般线性群GL(n,R)，即所有n×n矩阵构成的集合。每个主丛P都有一个与之相伴的纤维丛E=(P×F)/G，称为伴丛，例如流形上的切丛就是线丛的伴丛。

我们曾比较过柱面与莫比乌斯带，前者是圆周与R的直积，后者不是直积。我们称满足直积的丛为平凡丛，不满足就称为非平凡丛。一般的纤维丛大多是非平凡丛。就像流形M局部同胚于欧式空间一样，虽然一个纤维丛整体上是非平凡的，不存在整体截面，但局部上是直积空间，这就导致局部平凡化和局部截面的概念。不同的纤维之间是无关的，为了联系它们，就要定义转移函数（也称变换函数）。转移函数的集合称为转移函数族，它正是纤维丛E的结构群G，在构造纤维丛时起着关键的作用。

在这里要强调一点：Do mathematics by picture！这个思想是阿诺尔德《经典力学的数学方法》讲的。关于映射最好的理解方法就是作图，这些抽象的逻辑推理一旦用图形画出来就变得非常简单。比如前面讲切向量的公理化定义，还有诱导切映射和余切映射，用图形思考就比用逻辑推理简单得多。这里也一样。考虑一个向量丛E. 我们可以建立一个平面直角坐标系，x轴表示底空间M，y轴表示向量空间（纤维空间）F，那么xy平面就是丛空间E. 于是x轴上的一个区间U就表示M的一个局域，x轴上一点m表示M上一点，y轴上一点n表示F中一点，xy平面内一点(m,n)表示E中一点。那么，什么是局部平凡化呢？什么是转移函数呢？就是在x轴上取区间U1与U2，假定交集非空，q为交集中一点，投影π将xy平面内一点（m，n）映射为x轴上一点m，π的逆映射π^(-1)将q点沿x=q提升到平面内（q，n）点，将区间U映射为y=n直线上的一个线段L. 设ψ为U×F到L的映射，U×F就是局部平凡化，即全空间局部上是底空间局域与纤维空间的乘积；ψ^(-1)为从L到U×F的映射。于是，ψ1为U1×F到L1的映射，ψ2为U2×F到L2的映射，(ψ2)^(-1)与ψ1的复合映射g=(ψ2)^(-1)·ψ1(q)将U1与U2交集中x=q上(q,0)点与(q,n)点之间的线段（q点处一根纤维）映射为(q,n)点，然后又将(q,n)点映射为(q,0)点与(q,n)点之间的线段（q点处一根纤维），总体效果是从一根纤维映射到一根纤维，所以复合映射g12就是上面所说的转移函数。纤维空间是向量空间，纤维之间的变换就像向量之间的变换矩阵（如我们早就熟悉的，两个向量之间通过二阶张量相联系）。所有变换矩阵g12构成一个群，它就是向量丛的结构群。

2.纤维丛上的联络

我们只介绍主丛上的联络，这个对于理论物理最为重要。一般纤维丛的联络可类似定义，有兴趣读者可参考相关书籍。

黎曼联络可以公理化，主丛联络也可以：主丛P（M，G）上的一个联络是一个线性映射，即对P中任意点p，M中任意点x，π(p)=x，[π^(-1)]x=Fx满足dπ·Γp=idTx(M)和

[tex]\Gamma _{p'}  = \Gamma _{R_g p}  = dR_g \Gamma _p  = (R_g )_ *  \Gamma _p [/tex]，Rg为李群上的右移动，dRg为Rg的切映射（或称推进映射）。

设切空间Tp(Fx)=Vp是切于纤维Fx的向量空间，称为竖直子空间（或垂直子空间），则主丛P中的联络Γ是对P中每个p点指定一个切空间Tp的水平子空间Hp，使得切空间分解为Tp=Hp+Vp，切映射满足dRgHp=Hpg. 对于M中每个向量场X，在P中都存在唯一的向量场[tex]\tilde X[/tex]，称为X的水平提升。

任取P上的光滑向量场X，在P中每点p，X可分解为X=vX+hX，其中vX和hX分别称为X的竖直分量和水平分量。竖直分量恒为零的向量场称为水平向量场，水平分量恒为零的向量场称为竖直向量场。在P（M，G）上给定一个联络Γ，则在P上存在一个g值（g代表结构群G的李代数）一次形式ω，称为联络形式，满足

（1）ω(X)=vX，即若X属于水平子空间Hp，则ω(X)=0

（2）[tex]\omega R_g _ *  (X) = R_g^ *  \omega (X) = ad_{g^{ - 1} } \omega (X) [/tex]

我们不做证明，只说明一下。第一条中的ω(X)为常数，这在讲微分形式中证明过；第二条中前一个等式我们在余切映射中讲过，后一个等式在李群的伴随表示中讲过。对证明感兴趣的读者可参阅陈维桓《黎曼几何引论》（下）。

3.联络的曲率

设P（M，G）为主丛，Γ为其中一个联络。考虑P上的一个与Γ相伴的p次形式ω，它在有限维向量空间中取值，则我们可以定义一个p+1次形式Ω=▽ω，它是一个g值（g为李代数）2次形式，称为联络的曲率形式（也称为称为外协变微分或外协变导数），为

[tex]\nabla \omega (X_1 , \cdots ,X_{p + 1} ) = d\omega (hX, \cdots ,hX_{p + 1} ) [/tex]

简写为Ω=▽ω=dω·h. 其中X为P上光滑向量场，d为外微分，h为主丛P的切空间Tp到它的水平子空间Hp的投影（所以，如果这些X中有一个是竖直的，则▽ω=0）。这个曲率2次形式满足

（1）嘉当结构方程Ω(X,Y)=dω(X,Y)+[ω(X),ω(Y)]

（2）比安基恒等式▽Ω(X,Y,Z)=0.

证明：（1）将向量场分解为水平分量和竖直分量，分类讨论：

①X，Y都是水平的，则ω(X)=ω(Y)=0，于是嘉当方程化为Ω=dω，这正是Ω的定义；

②X，Y都是竖直的，则Ω(X,Y)=0（前面说了，这些X中有一个是竖直的，则▽ω=0），故只需证明dω(X,Y)+[ω(X),ω(Y)]=0；另外，前面讲微分形式时说过，ω(X), ω(Y)为常数，由于X，Y为切向量，而切向量等同于方向导数，故X(ω(Y))=Y(ω(X))=0；前面讲微分形式时证明了一个重要公式，即dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)-ω([X,Y])，故dω(X,Y)+[ω(X),ω(Y)]= dω(X,Y)+ω([X,Y])=Xω(Y)-Yω(X)=0-0=0=Ω(X,Y)，所以嘉当方程成立

③X为竖直的，Y为水平的，则与②类似仍有Ω(X,Y)=0（X中有一个是竖直的则▽ω=0），故只需证明dω(X,Y)+[ω(X),ω(Y)]=0，结合dω(X,Y)=Xω(Y)-Yω(X)-ω([X,Y])，即只需证明Xω(Y)-Yω(X)-ω([X,Y]) +[ω(X),ω(Y)]=0；且Y为水平的使得ω(Y)=0，X为竖直的使得ω(X)为常数，从而Yω(X)=0，故只需证明ω([X,Y])=0. 下面我们就来证明。设φ(t)是由X生成的单参数子群，由于Y是水平的，故右移动的推进映射[tex]dR_\phi  Y = Y_\phi [/tex]  也是水平的，从而X与Y李括号[tex] [X,Y] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{dR_\phi  Y - Y}}{t}[/tex]

是水平的，于是有ω([X,Y])=0.

注：有的书定义[φ,ψ](X,Y)=[φ∧ψ](X,Y)=[φ(X),ψ(Y)]-[φ(Y),ψ(X)]，于是[ω∧ω](X,Y)=[ω,ω] (X,Y)=2[ω(X),ω(Y)]，这样嘉当方程简写为Ω=dω+(1/2) [ω,ω]或Ω=dω+(1/2) [ω∧ω].

（2）将嘉当结构方程代入，得▽Ω(X,Y,Z)=▽dω(X,Y,Z)+(1/2)▽[ω,ω](X,Y,Z). 由于▽dω(X,Y,Z)=ddω(hX,hY,hZ)=0，且在水平向量上ω恒为零，[ω,ω]是一个垂直的2次形式，故▽[ω, ω]=d[ω,ω]·h=0.

为什么上述方程称为嘉当结构方程呢？下面就把它与前面在李群中讲的结构方程和活动标架法中讲的嘉当结构方程联系起来。设Γ是线丛L(M)上的联络，对应的联络形式为ω，它是取值于李代数gl(n,R)的1形式。根据李代数基的不同选择，有两种证明方法：

（1）设gl(n,R)的基为[tex] (E_1^1 ,E_1^2 , \cdots ,E_i^j , \cdots ,E_n^n ) [/tex]，其中[tex]E_i^j[/tex] 是n×n矩阵，它的第i行第j列的元素为1，其余为零。

（2）基为[tex]E_i[/tex] ，满足[tex] [E_j ,E_k ] = c_{jk}^i E_i [/tex]

后一种角标少，运算简洁，我们只介绍后一种。令[tex]\omega  = \omega ^i E_i [/tex]和[tex]\Omega  = \Omega ^i E_i [/tex]分别是P中关于基[tex]E_i[/tex]的一个联络的联络形式和曲率形式。于是

[tex][\omega (X),\omega (Y)] = \omega (X)\omega (Y) - \omega (Y)\omega (X) [/tex]

[tex]= \omega ^i (X)E_i \omega ^j (Y)E_j  - \omega ^j (Y)E_j \omega ^i (X)E_i [/tex]

[tex]= \omega ^i (X)\omega ^j (Y)[E_i ,E_j ] = \omega ^i (X)\omega ^j (Y)c_{ij}^k E_k [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}(\omega ^i (X)\omega ^j (Y) - \omega ^j (X)\omega ^i (Y))c_{ij}^k E_k  [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}c_{ij}^k E_k \omega ^i  \wedge \omega ^j (X,Y) [/tex]

所以，通过李代数的基[tex]E_i[/tex]，纤维丛的结构方程就成为

[tex]\Omega ^k  = d\omega ^k  + \frac{1}{2}c_{ij}^k \omega ^i  \wedge \omega ^j [/tex]

对于j<k，上式简化为

[tex]\Omega ^k  = d\omega ^k  + c_{ij}^k \omega ^i  \wedge \omega ^j [/tex]

将外微分d作用于该方程，对于2次形式Ω和一次形式ω，得

[tex]0 = dd\omega ^k  =  - c_{ij}^k d\omega ^i  \wedge \omega ^j  + c_{ij}^k \omega ^i  \wedge d\omega ^j  + d\Omega ^k [/tex]

利用

[tex] \Omega  \wedge \omega (X,Y,Z) = \frac{1}{{2!1!}}\delta _{123}^{i_1 i_2 i_3 } [\Omega (X_{i_1 } ,X_{i_2 } ),\omega (X_{i_3 } )] [/tex]

[tex]= \frac{1}{2}\delta _{123}^{123} [\Omega (X,Y),\omega (Z)]\delta _{123}^{231} [\Omega (Y,Z),\omega (X)] [/tex]

[tex]+ \frac{1}{2}\delta _{123}^{312} [\Omega (Z,X),\omega (Y)]\delta _{123}^{132} [\Omega (X,Z),\omega (Y)] [/tex]

[tex]+ \frac{1}{2}\delta _{123}^{213} [\Omega (Y,X),\omega (Z)]\delta _{123}^{321} [\Omega (Z,Y),\omega (X)] [/tex]

及

[tex]\omega  \wedge \Omega (X,Y,Z) = \frac{1}{{1!2!}}\delta _{123}^{i_1 i_2 i_3 } [\omega (X_{i_1 } ),\Omega (X_{i_2 } ,X_{i_3 } )] [/tex]

注意到对于水平向量X，Y，Z有ω(X)=ω(Y)=ω(Z)=0

即可证明[tex]d\omega ^i  \wedge \omega ^j (X,Y,Z) = \omega ^i  \wedge d\omega ^j (X,Y,Z) = 0[/tex]

于是[tex]d\Omega ^k (X,Y,Z) = 0[/tex]. 这就是比安基恒等式。

无处不在的嘉当结构方程。

4.规范场

酝酿已久的革命终于到来了。不过这篇文章中不准备广泛讨论各种规范场，只讲讲最简单的规范场——电磁场，因为我刚本科毕业，还没学量子场论，所以杨米尔斯场等问题以后再说。

假定有粒子场ψ(x)，它是复数场。规范在很多时候是指模为1，即规范变换

[tex]\psi (x) \to \psi '(x) = e^{i\omega (x)} \psi (x) [/tex]

这相当于在闵可夫斯基空间[tex]M^4 [/tex]中的每一点x处，选取U(1)群中的一个元素[tex]e^{i\omega (x)} [/tex] ，并将它作用于ψ，这导致了底流形为[tex]M^4[/tex] ，结构群为U(1)的纤维丛，其中

[tex]\pi :e^{i\omega (x)} \psi (x) \to \psi (x) [/tex]为丛投影，[tex]\sigma :\psi (x) \to e^{i\omega (x)} \psi (x) [/tex]

为局部截面。对于联络一次形式ω，定义[tex]\omega _U  = \sigma _U^ *  \omega [/tex]，其中U为M上一个局域，[tex]\sigma _U :U \to P[/tex]诱导出拉回映射[tex]\sigma _U^ *  :\Lambda (\sigma (U)) \to \Lambda (U) [/tex]，使我们由楼上（丛空间）到楼下（底空间），[tex]\omega _U[/tex] 是M的局域U上的g值（g为李代数）一次形式，称为（局部）规范势。形象地说，我们利用拉回映射将联络形式ω从楼上拉到楼下成为[tex]\omega _U [/tex]，就是规范势。

对于闵可夫斯基流形上的U(1)主丛，纤维F=结构群G=U(1)={exp(iθ)}，对U(1)丛有一个自然的右乘作用。对于主丛P上的联络ω，从李群G=U(1)= {exp(iθ)}的李代数g=u(1)={iθ}可知，对于局部截面[tex]\sigma _U :U \to P[/tex]而言，[tex]\omega _U  = \sigma _U^ *  \omega [/tex]是U上

的{iθ}值1形式，可令[tex]A_U  = i\omega _U  \in \Lambda ^1 (U) [/tex]. 由于一次形式均可表示为

[tex]\omega  = \omega _i dx^i [/tex]故[tex]A_U  = A_U _i dx^i [/tex].

设[tex]\sigma _V :V \to P[/tex]为另一局部截面，[tex]x = (x^0 ,x^1 ,x^2 ,x^3 ) [/tex] 为U与V中的一点。前面说了，结构群就是转移函数构成的集合，故对于U(1)丛，转移函数为[tex]g_{UV} (x) = e^{i\theta (x)}  \in U(1) [/tex]. 对[tex]g^{ - 1} g = e[/tex]两边微分，得[tex]dg^{ - 1}  \cdot g + g^{ - 1} dg = 0[/tex]. 令[tex]g(x) = e^{i\theta (x)} [/tex]，则[tex]d(g^{ - 1} dg) = 0[/tex]. 这说明[tex]g^{ - 1} dg[/tex]是一个1次闭微分形式。由于[tex]\omega _U [/tex]与[tex]\omega _V[/tex]均为1次微分形式，它们可能只相差一个1次闭微分形式，所以可假定

[tex]\omega _V  = g^{ - 1} dg + \omega _U [/tex]. 代入[tex]g(x) = e^{i\theta (x)} [/tex]，注意到[tex]A_U  = i\omega _U[/tex]可得[tex]A_{V_i }  = A_U _i  - \frac{{\partial \theta }}{{\partial x^i }}[/tex]，这就是我们在经典电动力学中熟知的规范变换。所以说规范变换就是通过结构群（转移函数的集合）从一个联络形式（规范势）到另一个联络形式（规范势）。

对于U(1)丛上的联络形式ω，可以定义物理上的场强F=i▽ω=iΩ. 由此，对于局部截面

[tex]\sigma _U :U \to P[/tex]，利用U(1)为阿贝尔群（可交换）得[tex] [\omega _U ,\omega _U ]=0[/tex].于是

[tex] F_U  = \sigma _U^ *  F =  - i\sigma _U^ *  \Omega  =  - i(d\omega _U  + \frac{1}{2}[\omega _U ,\omega _U ]) =  - id\omega _U  =  - dA_U [/tex]

[tex]=  - d(A_{U_i } dx^i ) = \frac{1}{2}(\partial _j A_{U_i }  - \partial _i A_{U_j } )dx^i  \wedge dx^j  = \frac{1}{2}F_{ij} dx^i  \wedge dx^j [/tex]

[tex]F_{ij}[/tex] 正是电磁场张量。而

[tex]dF_U  = d( - dA_U ) = d( - id\omega _U ) =  - id\Omega _U  =  - i[\Omega _U ,\omega _U ] = 0[/tex]

就是齐次麦克斯韦方程。类似地，设[tex]j = j_0 dx^0  + j_1 dx^1  + j_2 dx^2  + j_3 dx^3[/tex] ，则[tex]\delta F_U  = j[/tex]就是非齐次麦克斯韦方程，其中δF表示F的余微分，是外微分d的对偶运算。

小学《自然》课是梦的开端。没想到，大自然有那么多神奇的东西！对它的热爱超过了当时所有其他课程……

亲爱的朋友，还记得《青少年科技博览》吗？那是孩提时代最激动人心的杂志了。那里有千奇百怪的《秘与谜》，激起我们探索未知、刨根问底的好奇；那里有似是而非的《真伪科学》，指引我们崇尚科学、破除迷信；那里有感人至深的《科学先锋》，树立我们不辞辛苦、不畏艰难、不求回报、无怨无悔地追求真理的价值取向；那里有振聋发聩的《地球SOS》，告诉我们要珍爱自然，保卫人类共有的美丽家园……在六年级和初一那段没了《自然》课的日子里，她是我生命的唯一！

 

 Phase Change during a Cyclic Quantum Evolution

循环量子过程中的相位变化

VOLUME 58.NUMBER 16 PHYSICAL REVIEW LETTERS 20 APRIL 1987 (Received 29 December 1986)PACS numbers: 03.65-w

Y. Aharonov and J. Anandan，Department of Physics and Astronomy, University of South Carolina卡罗来纳州, Columbia哥伦比亚, South Carolina 29208  

A new geometric phase factor is defined for any cyclic evolution of a quantum system.

一个新的几何相因子被定义为任意一个量子系统的循环演化.

This is independent of the phase factor relating the initial- and final-state vectors and the Hamiltonian, for a given projection of the evolution on the projective space of rays of the Hilbert space.

它是关于投射Hilbert空间的初末态和Hamilton量的独立的相因子。

Some applications, including the Aharonov-Bohm effect, are considered for the special case of adiabatic evolution, this phase factor is a gauge-invariant generalization of the one found by Berry.

一些应用，包括AB效应，被认为是绝热演化，即由Berry发现的、作为一个规范不变量的推广的相因子的特殊情况。