现代微分几何的基本概念

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\centerline{现代微分几何的基本概念}

 1.从空间到流形 \\
关于“空间”的现代定义，我以前详细讨论过，可见拙作《抽象与拓展：谈谈量子力学的数学基础》
这里只简要回顾 一下。
数学上的“空间”是指从现实中抛开物理性质，作为数学研究对象的抽象的具有某种性质的点的集合，可以把空间看做定义了某种运算的集合。在此基础上，对加法和数乘运算封闭的集合便是线性空间，实数域上定义了内积的线性空间便是欧式空间，推广到复述域便是酉空间，其中内积收敛（平方可积）的便是Hillbert空间。
关于“流形”的概念，我以前简单提到过，参见拙作《漫谈抽象代数》。
现在，我们就来详细讨论流形的概念。我们要看看，空间这一概念是怎么演变成流形的。
上面提到了好几个抽象空间。它们都是线性空间。其实，我们又何必非要保证“线性”这一性质呢？数学要追求普遍性的，比如说代数吧，一个代数不仅可以是非交换的（四元数），而且可以是非结合的（八元数），也许还有非可除的。同样，我们完全可以任取一些独立参数构造非线性的点集。当然，为了保证我们能取到数域上的所有点，不论离散的整数（格点），还是连续的有理数乃至实数，我们要求该点集局部上是连续的，即任意两点间的距离能被分得任意小【连接n重实数$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的集合$R^n$  中任意两点的线段可以被无限细分，等价于 $R^n$ 中任意两点都有不相交的领域，此即 $R^n$ 的Hausdorff性质】。这样，我们就能建立它与 $R^n$的一一映射。具有这样性质的点集称为流形。例如圆 $S^1$ ，球面 $S^2$都是流形，它们局部地与 $R^n$同胚（粗略地说，同胚就是连续地一一映射）。
流形的概念是非常普遍的，能连续参数化的任意集合M都是一个流形，它的维数就是独立参量的个数。曲线的通常概念是M中的连续点列。这里允许我们下一个稍微不同的定义。使 $R^1$中的一点（它是一个实数，例如说 $\lambda$ ）对应于M中的一个点，后者称为 $\lambda$ 的象点。所有象点的集合就是通常意义下的曲线，但我们的定义是赋予每一个点一个 $\lambda$ 值。这样，我们就有了一根参数化了的曲线，其参数为$\lambda$ .
仿照微积分中可微函数的定义（如果函数f的小于及等于k阶的所有偏导数都存在，且都是域上的连续函数，则称f是 $C^k$ 类可微的。特别的，无限可微记作$C^\infty$ ），我们可以定义微分流形。流形可以是 $C^k$光滑的乃至 $C^\infty$光滑的。通俗地说，一维流形就是光滑曲线，二维流形就是光滑曲面。
在很多情况下，我们假定有一个  $C^\infty$流形。实际上这不是必需的。我们有时会遇到奇点。但许多非解析函数可以用解析函数来近似，尤其平方可积函数（这方面不再展开论述，有兴趣的读者可参见《实变函数与泛函分析》）\\

2.从切空间到切丛\\
流形的可微性质可以使我们把分析学中的导数概念与几何学中的向量概念联系起来。让我们从最简单的流形——曲线 $x^i=x^i(\lambda)$开始。考虑流形M上的可微函数$f(x^1,x^2,\cdots,x^n)$ .在曲线的每一点上，f有一个值。所以沿着此曲线就有一个可微函数$g(\lambda)=f[x^1(\lambda),x^2(\lambda),\cdots,x^n(\lambda)]$
由链式法则，得
$$
\frac{{dg}}{{d\lambda }} = \sum\limits_i {\frac{{dx^i }}{{d\lambda }}\frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}}
$$
这对任意函数g都成立，故有
$$
\frac{d}{{d\lambda }} = \sum\limits_i {\frac{{dx^i }}{{d\lambda }}\frac{\partial }{{\partial x^i }}}
$$
我们知道， ${dx^i}$ 是曲线的无穷小位移，把它们除以$d\lambda$ 后，只改变其数值，不改变其方向，它就是曲线的切向量。由于$\frac{d}{d\lambda} $是线性无关的 $\frac{\partial}{\partial x^i}$的线性组合，因此 $\frac{\partial}{\partial x^i}$是空间$\frac{d}{d\lambda} $ 的一组基。它是普通向量空间
$$
d\vec r = du^m \frac{{\partial \vec r}}{{\partial u^m }}
$$
的基矢
$$
e_m  = \frac{{\partial \vec r}}{{\partial u^m }}
$$
的推广。
空间M中任意一点P的所有切向量的集合称作P点的切空间，记作$T_p(M)$ 。下面，我们就来看看这一概念是如何过渡地引出纤维丛概念的。
把流形M与它所有的切空间  $T_p$结合在一起，便得到一个特别有趣的流形。如图1，一个一维流形M（一根曲线）及其切空间（在一点与曲线相切的直线）。
 图1
如果将切线延展，各点的切线将相交，图将是一团糟的。
一个更好的办法是下图的办法如图2（附件），平行地画出各切空间，它们彼此并不相交，而且它们仅在定义它们的那一点处越过M。
 图2
但不幸的是，这种图形不能表示出每个$T_p$ “相切”于曲线这一事实。但是要清晰就得付出这一代价。
图中，铅垂线 $T_p$上的每一点表示一个向量，具有“长度”，且在P点与M相切。M与 $T_p$定义了一个新的流形TM，它包括在所有点的所有向量，因此它是二维的。这个二维流形TM就称为切（纤维）丛，其中流形M称为底空间，切空间 $T_p$称为纤维。“纤维”一词正是源于图2中的画法。
图3用虚线画的（纤维丛中的）一根曲线在M的每一点给出了一个特定的向量。
 图3
因此，此曲线定义了M上的一个向量场。这样的一根曲线（即处处不平行于纤维的一根曲线）称为切丛TM的一个截面。
一般的纤维丛由一个底流形（例如前面的曲线M）和依附在底流形的每一点的一根纤维所组成。如果底空间是n维的，每根纤维是m维的，则这个丛就是m+n维的。它是一种特别的流形，因为它具有可分解成纤维的性质。一根纤维上的点是彼此相关的，而不同纤维上的点是无关的。\\

3.从平凡到非平凡\\
设有两个空间M和N，且$a\in M$,$b\in N$ ，则所有有序对（a，b）构造了与M、N相伴的空间$M\times N$ ，它就是直积空间。例如，  $R^2$可定义为
$R^1  \times R^1$  。 再比如，亚里士多德时空中，时间与空间都是绝对的，时空是时间与空间的直积。相比之下，在伽利略和牛顿时空中，尽管时间是绝对的，但空间是相对的，时空是一个自然的纤维丛结构：底空间为 $R^1$ （时间），纤维是 $R^3$（空间），如图4。
 图4
由于没有绝对空间，所以不同纤维上的点（不同时间的空间点）之间没有自然的关系，所以只存在以$R^1$ 为底空间的自然的纤维丛结构，但不存在以
$R^3$为底空间的自然的纤维丛结构。
如果M和N是流形，则 $M \times N $显然也是一个流形（称为积流形）：M的一个开集U的坐标集合$\{x^i,i=1,2,\cdots,m\}$  与N的一个开集V的坐标集合 $\{y^i,i=1,2,\cdots,n\}$构成 $M \times N $ 的开集（U，V）的m+n个坐标的集合。从纤维丛的上述构造法显然可知，纤维丛至少在局部上是直积空间。但整体上如何呢？为此，考察二维球面 $S^2$ 上的切丛 $TS^2$ 由于 $S^2$到其自身上的每一个一一映射至少使 $S^2$的一个点固定不动，逆映射给出 $TS^2$的一个处处非零的截面，即在 $S^2$上定义了一个处处非零的$C^\infty$ 向量场。这种向量场将产生一个没有不动点的映射。由于底流形 $S^2$的拓扑，$TS^2$ 没有一个整体的直积结构，故切丛 $TS^2$不是平凡的。
上面是由于 $S^2$的不平凡而使$TS^2$ 不平凡，其实，即使底流形允许一个平凡丛，也可以用它构造非平凡丛。考察$S^1$ 的切丛$TS^1$ .与 $S^2$不同的是，$S^1$ 允许一个处处非零的连续向量场，而 $TS^1$与积空间$S^1 \times R$ 全同。但是，由此既可构造柱面（图5），也可以构造出墨比乌斯带（图6）。
 图5
 图6
本来，在 $S^1$的任意连通开子集上的那部分丛到下图5的同样部分有一个连续的一一映射，
但绕行一周后，从整个一个丛到整个另一个丛上不存在连续的一一映射。
所以，墨比乌斯带局部上是直积空间（平凡的），但整体上非平凡。这教训我们，仅仅说明丛的底空间和纤维是不够的，因为可能有不止一种方法来构造丛。对纤维丛我们需要一个更好的定义。后来的研究表明，这一问题可以通过在丛上定义“群”来解决。 $S^1$上这两个纤维丛的差别就在于它们各自的结构群。由于流形的连续性，结构群一般为连续群（李群）。对一个n维流形M，切丛TM的结构群是 阶非奇异（行列式不为零）矩阵的集合，记作GL(n,R)，意为实n维一般（general）线性（linear）群。在上面的例子中，柱面的结构群为单位元素1，而墨比乌斯带的结构群为\{1，-1\}。\\

4.从变换群到联络\\
在拙作《漫谈抽象代数》一文中提到Klein的Erlangen纲领：在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。这一纲领非常伟大，因为它统一了大部分几何学；但也有不足，因为它没有把黎曼几何包括进来。于是，犹如物理学追求大统一理论一样，几何学也需要在更高的观点下统一——这就是由嘉当等人所发展的联络理论。下面我们就来认识这一伟大的理论。
为了引出联络的概念，让我们首先从黎曼几何谈起。
我们可以将曲面看作欧几里得空间中的一个几何实体，也可以把它本身看成一个独立的几何实体。乍一看，好像没什么了不起，只是对同一几何对象换了一种描述方法而已；但仔细研究发现，这一转变使我们走上了本质上与欧式几何不同的道路——这一点在分析曲面上物质的运动时看得很清楚：在欧式空间中，物质可以在曲面上运动，也可以在曲面外运动（因为曲面外仍有空间），例如在1/4圆弧中运动的物体，在圆弧中作变速圆周运动，离开圆弧后作平抛运动；但在黎曼空间中则不然，由于曲面就是空间本身，曲面之外一无所有，所以物质不能脱离曲面到空间外去运动。
黎曼空间是弯曲的，所以黎曼几何与欧式几何有很大不同，比如三角形内角和不再是180度。尤其重要的是，在黎曼空间中两点之间不能连成直线。例如在球面上，两点之间最近距离是“大圆弧”。我们把这一间隔为极值的路径称为短程线。欧式空间中，向量平移是将向量的尾端沿PQ自P移到Q，平移时保持向量与PQ的夹角不变，如图7所示。
 图7
但黎曼空间是弯曲的，如果再那样平移就可能移到空间外面，不再是向量了。所以要想出新的平移办法。列维-奇维塔的办法是，沿连接PQ的短程线进行移动，移动时保持向量A与短程线的切线之间的夹角不变，将向量的尾端自P移到Q，如图8所示。
 图8
我们都知道，代数运算是对空间同一点进行的，不涉及空间的几何性质，对于欧式空间和黎曼空间相同；但微分运算必须考虑与之相近的点，即不同的点之间的关系，这就必然涉及空间是否弯曲的几何性质。为了联系不同点的向量（即进行比较、运算），必须引入联络空间。下面我们就来看看这件有趣的事情是怎样发生的。
在曲线坐标系中，参数方程 $x^i=x^i(t)$给出一条曲线。将 $P(x^i)$点的向量A(P)沿曲线平移至邻近的一点$P'(x^i+dx^i)$ ，平移后的向量记作A'(P') 。显然A(P)=A'(P') 。 将上式分别按P、P' 的局部标架展开，有$A^i e_i =A'^i e'_i$   。而P和P'点基向量关系为$e'_i =e_i +d e_i$  ，其中
$$
de_i  = \frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}dx^k  = \frac{\partial }{{\partial x^k }}\frac{{\partial \vec r}}{{\partial x^i }}dx^k  = \frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }}dx^k
$$
将向量
$$
\frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }}
$$
按P点的局部标架 $e_j$ 展开为
$$
\frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }} = \Gamma _{ik}^j e_j
$$
其中$\Gamma _{ik}^j$是线性组合的系数。于是
$$
e'_i  = e_i  + de_i  = e_i  + \frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }} = e_i  + \Gamma _{ik}^j e_j dx^k
$$
于是
$$
A^i e_i  = A'^i e'_i  = A'^i (e_i  + \Gamma _{ik}^j e_j dx^k ) = A'^i e_i  + A'^i \Gamma _{ik}^j e_j dx^k
$$
设$\delta A^i  = A'^i  - A^i $称为平移增量，代入上式并移项，得
$$
(A'^i  - A^i )e_i  + (A^i  + \delta A^i )\Gamma _{ik}^j e_j dx^k  = 0
$$
展开并略去二级小量，得
$$
\delta A^i e_i  + A^i \Gamma _{ik}^j e_j dx^k  = 0
$$
为统一  $e_i$与$e_j$  ，调换第二项的哑标i，j，得
$$
\delta A^i e_i  + A^j \Gamma _{jk}^i e_i dx^k  = 0
$$
因$e_i$ 线性无关，故
$$
\delta A^i  + A^j \Gamma _{jk}^i dx^k  = 0
$$
即
$$
\delta A^i  =  - \Gamma _{jk}^i A^j dx^k
$$
类似地，可以导出
$$
\delta A_i  =  - \Gamma _{ik}^j A_j dx^k
$$
这两个式子称为平移公式。平移增量 $\delta A_i$ 与$A_j$  ，$dx^k$ 线性相关，还与线性组合的系数 $\Gamma _{ik}^j$ 有关。这些线性组合的系数联系着某一局部区域上向量平移前后的各对应分量，所以将它们称为联络系数，简称联络。引进了联络的流形称为联络空间。有了联络空间，不同点向量的比较、运算才成为可能。由于
$$
\Gamma _{ik}^j e_j  = \frac{{\partial ^2 \vec r}}{{\partial x^i \partial x^k }} = \frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}
$$
故
$$
\Gamma _{ik}^j  = \Gamma _{ik}^j e_j e^j  = e^j \frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}
$$
即$\Gamma _{ik}^j $是$e^j $与$\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}$的内积。对笛卡尔直角坐标
$$
\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}=0
$$
，则全部联络系数为零，于是 $\delta A_i =0$，自然不存在平移增量的问题。
大家可能觉得上面的定义太抽象。下面，允许我做一个类比。我们都知道量子力学中的态叠加原理$\psi=\psi_1 +\psi_2 +\cdots$
 （因为 $\psi_1$   ， $\psi_2$ ，……线性无关，故可以作为Hilbert空间的一组基）。与之类似，联络是向量
$\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}$在坐标基底 $e^j$ 上的分量。【坐标基底 $e^j$与向量
$\frac{{\partial e_i }}{{\partial x^k }}$的内积$\Gamma _{ik}^j $就类似于$c_1 =(\psi_1 ,\psi)$ ，$c_2 =(\psi_2 ,\psi)$ ，……】，反映了曲面上一点附近的几何性质的相互联系，联络系数就相当于态矢$\psi$  按基矢 $\psi_1 $ ,$\psi_2 $   ，……展开的展开系数$c_1 $  ，$c_2 $  ，……
下面我们来看看联络这一概念能带给物理学什么丰厚的礼物。为此，我们还需要定义联络的和乐群（holonomy group）。流形上定义了联络，就定义了向量沿流形上某曲线的平行移动，同时也就定义了标架沿曲线的平行移动。将某给定标架沿以P点为起点及终点的封闭曲线平行移动，得到在P点的新标架，它是原标架的线性变换，造成切空间$T_p(M)$ 的自同构变换。沿不同的封闭曲线将得到$T_p(M)$ 的不同的自同构变换。这样，所得到的所有$T_p(M)$ 的自同构变换的集合就构成一个群，称为联络的和乐群。
好了，下面可以看看物理了。我们来简单谈一下A-B效应。有了上面的基础就不难解释量子力学中相位与干涉问题的数学本质。可以证明（此处从略），场强就是丛的曲率，矢势就是丛的联络。那么，由于柱形磁场将空间由单连通变成双连通，变成了拓扑非平庸（平凡与平庸同义，不同书上称呼不同）。在绝热微扰问题中，绕行一周就相当于沿曲线平移一周，所以构成纤维丛上的和乐（严格说应该称为异和乐）。这就是为什么说“Berry相位是几何相位，而非动力学相位”的原因。\\

5.从张量到微分形式\\
关于这个问题，我还没有学会，因为同调、上同调、闭形式、恰当形式等理论还没有掌握。这个深奥但意义深远的课题留待以后的日志中解决，现在仅把《数学物理中的微分形式》一书中精辟的序言摘抄下来。我想，这应该能让读者意识到“从张量到微分形式”这一革命的深远意义。
“……微分形式的概念与可微流形的概念有关……人们已经发现，用张量法研究几何或者物理定律不太合适，因为它要求一个非奇异坐标系，以便可以相对于这个坐标系给出向量和张量的分量。然而，按照可微流形的定义，一个单一的非奇异坐标系是不足以覆盖一个流形的。因此在一般的可微流形中，将不可能通过给定相对于单一坐标系的分量来描述一个张量场。结果，张量场的分量比起张量表示的内在含义来说是不重要的。张量场的所有类型中，反对称协变张量可由微分形式本质地表示出来。物理学理论，特别是Maxwell理论、杨-Mills理论、相对论，还有热力学和分析力学可以通过它们给出明确而简洁的公式……”\\

因为时间关系，有些重要而基本的问题没有解释清楚，比如逆变与协变概念的由来，。有兴趣的读者可参阅以下书籍：\\
1.舒茨B.F.《数学物理中的几何方法》，上海科学技术文献出版社（本文主要参考资料）\\
2.孙志铭《物理中的张量》，北京师范大学出版社（关于张量的入门书）\\
3.侯伯元、侯伯宇《物理学家用微分几何》，科学出版社\\
4.威斯顿霍尔兹(Westenholz,C.V.)著 ，叶以同译《数学物理中的微分形式》，北京大学出版社\\
5.余扬政、冯承天《物理学中的几何方法》，高等教育出版社（数学和物理的例子很多）\\
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